第一节变化率与导数、导数的计算A级·基础过关|固根基|1.已知函数f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)，且f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1B．－2C．2D．0解析：选B f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋(2a＋b)x2＋2b，∴f′(x)＝4ax3＋2(2a＋b)x.又f′(－x)＝－4ax3－2(2a＋b)x＝－f′(x)，∴f′(x)为奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.2．(2019届成都模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)＝()A．1B．－1C．－eD．－e－1解析：选D由已知得，f′(x)＝2f′(e)＋，令x＝e，可得f′(e)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝－.故选D.3．(2019届武汉模拟)设函数f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x－3k)，且f′(0)＝6，则k＝()A．0B．－1C．3D．－6解析：选B因为f′(0)＝6，所以原函数中x的一次项的系数为6，即k·2k·(－3k)＝－6k3＝6，解得k＝－1.故选B.4．曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为()A．(1－e)x－y＋1＝0B．(1－e)x－y－1＝0C．(e－1)x－y＋1＝0D．(e－1)x－y－1＝0解析：选C由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.5．(2019届贵阳模拟)已知直线y＝ax是曲线y＝lnx的切线，则实数a＝()A.B.C.D.解析：选C设切点坐标为(x0，lnx0)，由y＝lnx的导函数为y′＝知，切线方程为y－lnx0＝(x－x0)，即y＝＋lnx0－1.由题意可知解得a＝.故选C.6.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2，0)，所以切线方程为x－y－2＝0.答案：x－y－2＝07．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b＝________．1解析：由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a，则解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.答案：18．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：由题意，可知f′(x)＝3ax2＋，又曲线存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0在(0，＋∞)有解，即a＝－(x＞0)，所以a∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)9．(2019届甘肃会宁一中模拟)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.由题意得，切线l1的斜率为4，令3x2＋1＝4，解得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－.因为l过切点P0，由(1)得，点P0的坐标为(－1，－4)，所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.10．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＝(2a＋1)2＞0，所以a≠－，所以a的取值范围为∪.B级·素养提升|练能力|11.(2020届“四省八校联盟”高三联考)直线x＝a(a＞0)分别与直线y＝2x＋1，曲线y＝x＋lnx相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A．1B．2C.D.解析：选B根据题意，设f(x)＝2x＋1－x－lnx＝x＋1－lnx，则f′(x)＝1－＝(x>0)，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝2－ln1＝2，所以|AB|min＝2.12．(2019届扬州模拟)已知点A(1，2)在函数f(x)＝ax3的图象上，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是()A．6x－y－4＝0B．x－4y＋7＝02C．6x－y－4＝0或x－4y＋7＝0D．6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0解析：选D由点A(1，2)在函数f(x)＝ax3的图象上，得a＝2，则f(x)＝2x3，其导数为f′(x)＝6x2.设切点为(m，2m3)，则切线的斜率k＝6m2，由点斜式得切线...
