课堂达标(十五)导数与函数的极值、最值[A基础巩固练]1．(2018·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()A．y＝x3B．y＝ln(－x)C．y＝xe－xD．y＝x＋[解析]由题可知，B、C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．[答案]D2．(2018·哈尔滨调研)函数f(x)＝x2－lnx的最小值为()A.B．1C．0D．不存在[解析]f′(x)＝x－＝且x＞0.令f′(x)＞0，得x＞1.令f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，f(1)＝－ln1＝.[答案]A3．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是()[解析]因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，ex＞0，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.[答案]D4．设直线x＝t与函数h(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|最小时t的值为()A．1B.C.D.[解析]由已知条件可得|MN|＝t2－lnt，设f(t)＝t2－lnt(t＞0)，则f′(t)＝2t－，令f′(t)＝0，得t＝，当0＜t＜时，f′(t)＜0，当t＞时，f′(t)＞0，∴当t＝时，f(t)取得最小值．[答案]D5．(2018·山西省太原五中二模)正项等比数列{an}中的a1，a4033是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－3的极值点，则log6a2017＝()A．1B．2C.D．－1[解析] f(x)＝x3－4x2＋6x－3，∴f′(x)＝x2－8x＋6， 正项等比数列{an}中的a1，a4033是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－3的极值点，∴a1×a4033＝6，∴a2017＝＝，∴log6a2017＝log6＝.故选：C.[答案]C16．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A．[－5,0)B．(－5,0)C．[－3,0)D．(－3,0)[解析]由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令x3＋x2－＝－得，x＝0或x＝－3，则结合图象可知，，解得a∈[－3,0)，故选C.[答案]C7．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积最大，则其高为______cm.[解析]设圆锥的体积为Vcm3，高为hcm，则V＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，∴V′＝π(400－3h2)，由V′＝0，得h＝，所以当h＝cm时，V最大．[答案]8．(2018·东北八校月考)已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为______．[解析] f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，∴⇒∴f′(x)＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.[答案]49．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a＞0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________.[解析]令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)．[答案](－1,1)10．(新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．2若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1.因此f＞2a－2等价于lna＋a－1＜0.令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，a的取值范围是(0,1)．[B能力提升练]1．(2018·吉大附中第七次模拟)已知函数f(x)满足f(x)＋xf′(x)＝lnx，且f(1)＝0，则函数f(x)()A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，也无极小值[解析]因为f(x)＋xf′(x)＝lnx，即[xf(x)]′＝lnx，所以xf(x)＝xlnx－x＋c，其中c为常数，又因为f(1)＝0，所以xf(x)＝xlnx－x＋1，f(x)＝lnx－1＋，f′(x)＝－＝，...
