导数028.（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间.【答案】解：，……………………………………………1分令．（Ⅰ）当时，函数，，．曲线在点处的切线的斜率为．…………………………2分从而曲线在点处的切线方程为，即．………………………………………………………………4分（Ⅱ）函数的定义域为．设，（1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减．……………6分（2）当时，，（ⅰ）若，由，即，得或；……………8分由，即，得．………………………9分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．……………………………………11分（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递增．………………………………………………………………13分9.（本小题共13分）已知函数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上是减函数，求的取值范围.【答案】解：（Ⅰ）当时，，又，所以.又，所以所求切线方程为，即.所以曲线在点处的切线方程为.………6分（Ⅱ）因为，令，得或.………………………8分当时，恒成立，不符合题意.……………………………9分当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则解得.……………………………………………11分当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则，解得.综上所述，实数的取值范围是或.…………………………13分10.（本小题满分13分）已知函数（I）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值；（II）求函数的单调区间；【答案】（I）函数，又曲线处的切线与直线垂直，所以即a=1.（II）由于当时，对于在定义域上恒成立，即上是增函数.当当单调递增；当单调递减.11.（本小题共13分）已知函数是常数．（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；（Ⅲ）若函数有零点，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）…………………2分，，所以切线的方程为，即．…………………4分（Ⅱ）令则↗最大值↘，所以且，，，即函数的图像在直线的下方．…………………9分（Ⅲ）有零点，即有解，.令，，解得.…….…11分则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为，所以.…………………13分12.（本小题满分13分）已知函数（Ⅰ）若函数在处有极值为10，求b的值；（Ⅱ）若对于任意的，在上单调递增，求b的最小值．【答案】（Ⅰ），………………………………1分于是，根据题设有解得或……………………3分当时，，，所以函数有极值点；………………………………………………………………4分当时，，所以函数无极值点．…………5分所以．…………………………………………………………6分（Ⅱ）法一：对任意，都成立，………7分所以对任意，都成立．8分因为,所以在上为单调递增函数或为常数函数，………9分所以对任意都成立，即.……………………………………11分又，所以当时，，……………………………12分所以，所以的最小值为．………………………………13分法二：对任意，都成立，……………7分即对任意，都成立，即．…………………………………………8分令，……………………………9分当时，，于是；………………………10分当时，，于是，．……11分又，所以．………………………………12分综上，的最小值为．………………………………13分13.（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；【答案】解：（1），当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．…………6分（注：分类讨论少一个扣一分。）（2） 函数在处取得极值，∴，…………8分∴，令，可得在上递减，在上递增，∴，即．…………12分14.（本小题满分12分）设函数(I)若与具有完全相同的单调区间，求的值；(Ⅱ)若当时恒有求的取值范围.【答案】解：（I），………2分当时，在内单调递减；当时，在内单调递增.………4分又由得.此时，显然在内单调递减，在内单调递增，故.………6分(I...
