配餐作业(四十七)空间向量及其运算(时间：40分钟)一、选择题1．点M(－8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是()A．(－8，－6，－1)B．(8，－6，－1)C．(8，－6,1)D．(－8，－6,1)解析点P(a，b，c)关于x轴的对称点为P′(a，－b，－c)。故选A。答案A2．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为()A．19B．－C.D.解析|AB|＝＝，所以当x＝时，|AB|min＝。故选C。答案C3．设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足AB·AC＝0，AD·AC＝0，AD·AB＝0，则△BCD的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法确定解析BC·BD＝(AC－AB)·(AD－AB)＝AC·AD－AC·AB－AB·AD＋AB2＝AB2>0，同理，DB·DC>0，CB·CD>0，∴△BCD为锐角三角形。故选C。答案C4.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝，若以DA、DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为()A．(1,1,1)B.C.D．(1,1,2)解析设PD＝a，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E。∴DP＝(0,0，a)，AE＝。由cos〈DP，AE〉＝，∴＝a·，∴a＝2。∴E的坐标为(1,1,1)。故选A。答案A5．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确解析 n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，∴α与β相交但不垂直。故选C。答案C6．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为()A．(1,1,1)B.C.D.解析由已知得A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，设M(x，x,1)。则AM＝(x－，x－，1)，BD＝(，－，0)，BE＝(0，－，1)。设平面BDE的一个法向量为n＝(a，b，c)。则即解得令b＝1，则n＝(1,1，)。又AM∥平面BDE，所以n·AM＝0。即2(x－)＋＝0，得x＝，所以M。故选C。答案C二、填空题7．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝DD1＝1，DC＝，点E是B1C1的中点，建立空间直角坐标系D－xyz如图所示，则|AE|＝________。解析由题意长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝DD1＝1，DC＝，点E是B1C1的中点，则A(1,0,0)，E，所以AE＝，所以|AE|＝＝。答案8．设点C(2a＋1，a＋1,2)在由点P(2,0,0)，A(1，－3,2)，B(8，－1,4)确定的平面上，则a＝________。解析由共面向量定理知PC＝xPA＋yPB，即(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4)，即解得a＝16。答案169．(2017·武威模拟)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)。则不重合的两个平面α与β的位置关系是________。解析由已知得，AB＝(0,1，－1)，AC＝(1,0，－1)，设平面α的一个法向量为m＝(x，y，z)，则得得令z＝1，得m＝(1,1,1)。又n＝(－1，－1，－1)，所以m＝－n，即m∥n，所以α∥β。答案平行三、解答题10．如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz。(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1F⊥C1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：A1F＝A1C1＋A1E。解析(1)E(a，x,0)，F(a－x，a,0)。(2)证明： A1(a,0，a)、C1(0，a，a)，∴A1F＝(－x，a，－a)，C1E＝(a，x－a，－a)，∴A1F·C1E＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴A1F⊥C1E，∴A1F⊥C1E。(3)证明： A1，E，F，C1四点共面，∴A1E，A1C1，A1F共面。选A1E与A1C1为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A1F＝λ1A1C1＋λ2A1E，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴解得λ1＝，λ2＝1。于是A1F＝A1C1＋A1E。答案(1)E(a，x,0)，F(a－x，a,0)(2)(3)见解析11.如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2。(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC。证明以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，∴E，...
