第五节椭圆A组基础题组1.椭圆+=1的焦距为2,则m的值是()A.6或2B.5C.1或9D.3或52.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A.B.(1,+∞)C.(1,2)D.3.设椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为()A.3B.3或C.D.6或34.如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P点在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为()A.2B.3C.4D.55.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),长轴长与短轴长的比是2∶,则椭圆C的方程是.6.已知F是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上一点,PF⊥x轴.若|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率为.7.(2018贵州贵阳质检)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.18.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,且过点.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l经过M(0,1),与C交于A,B两点,=-,求直线l的方程.B组提升题组1.如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则·的最大值为.2.(2017陕西质量检测(一))已知椭圆与抛物线y2=4x有一个相同的焦点,且该椭圆的离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,若=2,求△AOB的面积.3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0),点A在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;2(2)是否存在斜率为2的直线,使得当直线与椭圆C有两个不同交点M,N时,能在直线y=上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足=?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.3答案精解精析A组基础题组1.D由题意,得c=1,当椭圆的焦点在x轴上时,由m-4=1,解得m=5;当椭圆的焦点在y轴上时,由4-m=1,解得m=3,所以m的值是3或5.故选D.2.C∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴解得故k的取值范围是(1,2).3.C由已知得a=2,b=,则c=1,则点P为短轴顶点(0,)时,∠F1PF2=.△PF1F2是正三角形,若△PF1F2是直角三角形,则直角顶点不可能是点P,只能是焦点F1(或F2),此时|PF1|==,=··2c==.故选C.4.B由题意知b2=2,c=,故|F1F2|=2,又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-4,由余弦定理得cos120°==-,化简得8a=24,即a=3.故选B.5.答案+=1解析设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意知解得a2=16,b2=12.所以椭圆C的方程为+=1.6.答案4解析由题意得,A(a,0),F(-c,0).∵PF⊥x轴,∴|PF|=.∵|PF|=|AF|,∴=(a+c),即(3a-4c)(a+c)=0,∵a>c>0,∴3a-4c=0,∴e==.7.解析(1)由题意,知椭圆C的标准方程为+=1,所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e==.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又+2=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=+++4=+++4=++4(0<≤4).因为+≥4(0<≤4),且当=4时等号成立,所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2.8.解析(1)依题意,2c=4,则椭圆C的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=+=+=6,5即有a=3,则b2=a2-c2=5,故椭圆C的方程为+=1.(2)若l与x轴垂直,则l的方程为x=0,A,B为椭圆短轴的两个端点,不符合题意.若l与x轴不垂直,设l的方程为y=kx+1,由得(9k2+5)x2+18kx-36=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1·x2=-,易知Δ>0,由=-,得(x1,y1-1)=-(x2,y2-1),即有x1=-x2,可得x2=-,-=-,则有=,解得k=±,故直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.B组提升题组1.答案4解析设P点坐标为(x0,y0),由题意知a=2,因为e==,所以c=1,b2=a2-c2=3.故该椭圆的方程为+=1,所以-2≤x0≤2,-≤y0≤.因为F(-1,0),A(2,0),=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),所以·=-x0-2+=-x0+1=(x0-2)2.所以当x0=-2时,·取得最大值4.62.解析(1)依题意,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由题意可得c=,∵e==,∴a=2.∴b2=a2-c2=2,∴椭圆的标准方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2,得由题意可知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+1,代入椭圆方程整理,得(2k2+1)x2+4kx-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.将-x1=2x2代入上式可得,=,解得k2=.∴△AOB的面积S=|OP|·|x1-x2|==·=.3.解析(1)由题意知c=1,因为A在椭圆C上,所以2a=|AF1|+|AF2|=2,所以a2=2,所以b2=a2-c2=1,故椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)不存在满足条件的直线,理由如下:假设存在满足条件的直线,设直线的方程为y=2x+t,M(x1,y1),N(x2,y2),P,Q(x4,y4),MN的中点为D(x0,y0),7由消去x,得9y2-2ty+t2-8=0,所以y1+y2=,且Δ=4t2-36(t2-8)>0,故y0==,且-3
