高考数学二轮复习 分层特训卷 主观题专练 立体几何（5） 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

立体几何(5)1．[2019·广东潮州期末]如图，在四棱锥E－ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，DE＝2，点F为棱DE的中点．(1)证明：AF∥平面BCE；(2)若BC＝4，∠BCE＝120°，求三棱锥B－CEF的体积．解析：(1)取CE中点M，连接MF，MB.因为F为DE中点，所以MF∥CD，且MF＝CD.因为AB∥CD，且AB＝CD，所以AB∥MF且AB＝MF，所以四边形ABMF是平行四边形，所以AF∥BM.又BM⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)因为AB∥CD，∠ABC＝90°，所以CD⊥BC.因为CD＝4，CE＝2，DE＝2，所以CD2＋CE2＝DE2，所以CD⊥CE.因为BC∩CE＝C，BC⊂平面BCE，CE⊂平面BCE，所以CD⊥平面BCE，则易知点F到平面BCE的距离为2.S△BCE＝BC·CEsin∠BCE＝×4×2sin120°＝2，所以三棱锥B－CEF的体积VB－CEF＝VF－BCE＝S△BCE×2＝×2×2＝.2．[2019·清华自招]如图，EA⊥平面ABC，AE∥CD，AB＝AC＝CD＝2AE＝4，BC＝2，M为BD的中点．(1)求证：平面AEM⊥平面BCD；(2)求三棱锥E－ABM的体积．解析：(1)如图所示，取BC的中点N，连接MN，AN，则MN＝DC＝AE，MN∥CD∥AE，所以四边形AEMN为平行四边形．因为EA⊥平面ABC，AN⊂平面ABC，所以EA⊥AN，所以四边形AEMN是矩形，所以EM⊥MN.由题意可得ED＝EB＝2，因为M为BD的中点，所以EM⊥BD.又EM⊥MN，BD∩MN＝M，所以EM⊥平面BCD.因为EM⊂平面AEM，所以平面AEM⊥平面BCD.(2)由题可知，V三棱锥E－ABM＝V三棱锥M－ABE，因为MN∥AE，AE⊂平面ABE，MN⊄平面ABE，所以MN∥平面ABE，连接NE，则V三棱锥M－ABE＝V三棱锥N－ABE＝V三棱锥E－ABN＝×S△ABN×AE.易得BN＝，AN＝，所以S△ABN＝×BN×AN＝，所以V三棱锥E－ABM＝××2＝.3．[2019·河南洛阳第一次统考]如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD是等边三角形，已知AD＝2，BD＝2，AB＝2CD＝4.(1)设M是PC上一点，求证：平面MBD⊥平面PAD.(2)求四棱锥P－ABCD的体积．解析：(1)在△ABD中，AD＝2，BD＝2，AB＝4，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD，所以平面MBD⊥平面PAD.(2)如图所示，设AD的中点为O，则AO＝1，连接PO，易知PO是四棱锥P－ABCD的高，PO＝＝.又易得S梯形ABCD＝3，所以四棱锥P－ABCD的体积V＝×3×＝3.4．[2019·四川雅安中学10月月考]如图，四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝2，E为CD的中点，点F在线段PB上．(1)求证：AD⊥PC.(2)当满足V三棱锥B－EFC＝V四棱锥P－ABCD时，求的值．解析：(1)连接AC.在△ABC中，AB＝2，BC＝2，∠ABC＝45°，由余弦定理可得AC2＝8＋4－2×2×2×cos45°＝4，所以AC＝2.易知∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AD∥BC，所以AD⊥AC.在△ADP中，AD＝AP＝2，DP＝2，易知PA⊥AD.又AP∩AC＝A，所以AD⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC，所以AD⊥PC.(2)因为E为CD的中点，所以S△BEC＝S平行四边形ABCD，因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD，设F到底面ABCD的距离为h.因为V三棱锥F－BEC＝V三棱锥B－EFC＝V四棱锥P－ABCD，所以×S△BEC×h＝××S平行四边形ABCD×PA，所以h＝，则易得＝.5．[2019·重庆10月月考]如图1，在等腰梯形ABCD中，M为AB边的中点，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，现在沿AC将△ABC折起使点B落到点P处，得到如图2的三棱锥P－ACD.(1)在棱AD上是否存在一点N，使得PD平行于平面MNC？请证明你的结论；(2)当平面PAC⊥平面ACD时，求点A到平面PCD的距离．解析：(1)当N为AD的中点时，满足题意，证明如下：由M，N分别为AP，AD的中点，可得MN为△APD的中位线，所以MN∥PD，又MN⊂平面MNC，PD⊄平面MNC，所以PD平行于平面MNC.(2)在等腰梯形ABCD中，由AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，易得∠D＝，AC＝，AC⊥CD.因为AC⊥CD，平面PAC⊥平面ACD，AC为两平面交线，CD⊂平面ACD，所以CD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以CD⊥PC，所以S△PCD＝×PC×CD＝×1×1＝.方法一取AC的中点H，连接PH.由AP＝PC，可知PH⊥AC.又平面PAC⊥平面ACD，AC为平面PAC与平面ACD的交线，所以PH⊥平面ACD.由CH＝AC＝，PC＝BC＝1，利...