【优化探究】2017届高考数学一轮复习第三章第八节正弦定理和余弦定理的应用课时作业理新人教A版A组考点能力演练1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50mB．50mC．25mD.m解析：本题考查正弦定理．依题意与正弦定理得＝，AB＝＝＝50m，故选A.答案：A2．在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上．为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A，B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北α的方向上；在B处测得该塔底部C在西偏北β的方向上，并测得塔顶D的仰角为γ.已知AB＝a,0<γ<β<α<，则此塔的高CD为()A.tanγB.tanγC.tanγD.tanγ解析：本题考查正弦定理．依题意得，在△ABC中，∠CAB＝π－α，∠ACB＝α－β，由正弦定理得＝，BC＝；在△BCD中，∠CBD＝γ，CD＝BCtanγ＝tanγ，故选B.答案：B3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m解析： tan15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，∴BC＝60tan60°－60tan15°＝120(－1)(m)，故选C.答案：C4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为()A．8km/hB．6km/hC．2km/hD．10km/h解析：设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B.答案：B5.(2015·南昌模拟)如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，sinθ的值为()A.B.C.D.解析：连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos120°＝700，∴BC＝10，再由正弦定理，得＝，∴sinθ＝.答案：A6．(2016·潍坊调研)为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．解析：在△BCD中，由正弦定理，得＝，解得BC＝10米，∴在Rt△ABC中，塔AB的高是10米．答案：107．如图，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cosθ＝.已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．解析：本题考查解三角形知识在实际问题中的应用．利用余弦定理求解．在△ABC中，AB＝20，AC＝10，∠BAC＝45°－θ，又cos(45°－θ)＝×＋×＝，由余弦定理可得BC2＝(20)2＋102－2×20×10×＝340，所以BC＝2.又行驶时间是小时，所以该货船的速度为＝4海里/小时．答案：48．如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A、B；找到一个点D，从点D可以观察到点A、C；找到一个点E，从点E可以观察到点B、C.并测量得到一些数据：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A、B两点之间的距离为________.解析：依题意知，在△ACD中，∠A＝30°，由正弦定理得AC＝＝2.在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝＝3.在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC×BCcos∠ACB＝10，所以AB＝.答案：9.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/...
