高考数学二轮复习 每日一题 规范练（第一周）文（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

每日一题规范练(第一周)[题目1]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若m＝，n＝，且m·n＝.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，三角形面积S＝，求b＋c的值．解：(1)因为m＝，n＝，且m·n＝，所以－cos2＋sin2＝，则cosA＝－.又A∈(0，π)，所以A＝π.(2)S△ABC＝bcsinA＝，所以bc＝4，又由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝b2＋c2＋bc，所以(b＋c)2＝16，故b＋c＝4.[题目2]已知等差数列{an}的公差d＞0，其前n项和为Sn，且a2＋a4＝8，a3，a5，a8成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)因为a2＋a4＝8，则a3＝4，即a1＋2d＝4.①因为a3，a5，a8为等比数列，则a＝a3a8，即(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，化简得：a1＝2d，②联立①和②得：a1＝2，d＝1.所以an＝n＋1，n∈N*.(2)因为bn＝＝＝，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝[＋＋＋…＋]＝(1－)＝.[题目3]随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争、吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务．在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．(1)若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪1资高于8500元的城市的概率；(2)若从月平均收入薪资与月平均期望薪资之差高于1000元的城市中随机选择2座城市，求这2座城市的月平均期望薪资都低于8500元的概率．解：(1)设该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A，15座城市中月平均收入薪资高于8500元的有6个，所以P(A)＝＝.(2)月平均收入薪资和月平均期望薪资之差高于1000元的城市有6个，其中月平均期望薪资高于8500元的有1个，记为A；月平均期望薪资低于8500元的有5个，记为B1，B2，B3，B4，B5.从中任取两座城市所有可能结果为AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B2B3，B2B4，B2B5，B3B4，B3B5，B4B5共15种，其中后10种情况2座城市的月平均期望薪资都低于8500元．设2座城市的月平均期望薪资都低于8500元为事件B，所以P(B)＝＝.[题目4]三棱柱ABC-A1B1C1被平面A1B1C截去一部分后得到如图所示几何体，BB1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，BC＝BB1，E为棱B1C上的动点(不包含端点)，平面ABE交A1C于点F.(1)求证：AB⊥平面B1BC；(2)求证：EF∥AB；(3)试问是否存在点E，使得平面ABE⊥平面A1B1C？并说明理由．(1)证明：因为BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB，由∠ABC＝90°，得BC⊥AB.因为BB1∩BC＝B，B1B⊂平面B1BC，BC⊂平面B1BC，所以AB⊥平面B1BC.(2)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面A1B1C＝EF，所以EF∥AB.(3)解：存在点E，当点E为B1C的中点时，平面ABE⊥平面A1B1C.2因为BC＝BB1，所以BE⊥B1C.因为AB⊥平面B1BC，BE⊂平面B1BC，所以AB⊥BE.由于AB∥A1B1，所以BE⊥A1B1.因为A1B1∩B1C＝B1，所以BE⊥平面A1B1C.又BE⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面A1B1C.[题目5]设椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为4.(1)求椭圆E的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．(1)解：由题意知，4a＝4，a＝.又e＝，所以c＝，b＝，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)证明：当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．则两式相减，得＋－＝0.所以＝－，＝－，所以·＝－，·＝－.则k·kOM＝－，所以kOM＝－.同理可得kON＝－.所以kOM＝kON，从而点O，M，N三点共线．[题目6]设函数f(x)＝lnx－.(1)证明：当x＞1时，f(x)＞0；(2)若关于x的不等式＜a(x－1)对任意x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．(1)证明：因为f(x)＝lnx－，x＞1，所以f′(x)＝－＝.当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在x∈(1，＋∞)为增函数，所以f(x)＞f(1)＝ln...