第8节函数与方程[A级基础巩固]1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为()A.，0B．－2，0C.D．0解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.答案：D2．(2020·长郡中学等十三校联考)已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则g(x0)等于()A．1B．2C．3D．4解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－>0，所以x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.答案：B3．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：函数y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.答案：C4．已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.B.C．－D．－解析：令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.答案：C5．函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是()A．a<0B．0
1解析：因为当x>0时，x＝1是函数f(x)的一个零点，所以当x≤0时，要使f(x)＝－2x＋a没有零点，则－2x＋a<0或－2x＋a>0恒成立，即a<2x或a>2x恒成立，故a≤0或a>1.所以函数f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件可以是a<0.答案：A6．(多选题)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：x11.51.251.3751.43751.406251f(x)的近似值－20.625－0.984－0.2600.162－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0近似解(精确度为0.05)可以是()A．1.25B．1.4375C．1.40625D．1.4219解析：由零点存在定理，在(1.40625，1.4375)内有零点，又1.4375－1.40625＝0.03125<0.05，所以在区间[1.40625，1.4375]内任取一值可为零点近似解．则B、C、D均满足要求．答案：BCD7．(2020·湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰好有两个不同的实根，则实数a的取值范围为()A.1D．a∈R解析：作出函数f(x)的图象如图：因为关于x的方程f(x)＝2a恰好有两个不同实根，所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，所以2a>2或<2a≤1.解之得a>1或0)的最小值为8，则实数a的取值范围是()A．(5，6)B．(7，8)C．(8，9)D．(9，10)解析：由于f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，所以f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8.令g(a)＝a＋log2a－8，a>0.则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，所以实数a所在的区间为(5，6)．答案：A9．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.答案：310．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________，函数的零点是________(用a表示)．解析：依题意，f(x)＝x2＋ax＋b有不变号零点，所以Δ＝a2－4b＝0，知a2＝4b，从而函数的零点x0＝－.2答案：a2＝4b－11．(2020·济南质检)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，则x1x2等于________．解析：考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝lnx与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标．又A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.答案：112．已知函数f(x)＝(1)若f(1)＝3，则实数a＝________．(2)若函数y＝f(x)－2有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：(1)f(1)＝1－a＝3，所以a＝－2，(2)作出y＝2与y＝f(x)的图象(略)，y＝f(x)－2有两个零点，则12－a<2，所以a>－1.答案：(1)－2(2)(－1，＋∞)[B级能力提升]13．函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标...
