课堂达标(二十九)数列求和[A基础巩固练]1．(2018·广东惠州一中等六校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则S7等于()A．41B．48C．49D．56[解析]设Sn＝An2＋Bn，由题知，解得A＝1，B＝0，∴S7＝49.[答案]C2．在数列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于()A．76B．78C．80D．82[解析]由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1·an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故选B.[答案]B3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2sin，则a1＋a2＋a3＋…＋a2018等于()A.B.C.D.[解析]an＝n2sin＝∴a1＋a2＋a3＋…＋a2018＝－12＋22－32＋42－…－20172＋20182＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(20182－20172)＝1＋2＋3＋4＋…＋2018＝.[答案]B4．已知函数f(x)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0B．100C．－100D．10200[解析]由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.故选B.[答案]B5．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn等于()A．2B．2nC．2n＋1－2D．2n－1－2[解析] an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n，∴Sn＝＝2n＋1－2.故选C.[答案]C6．(2018·北京师大附中统测)已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝的前n项和为()A．4B．4C．1－D.－[解析]由题意知an＝＋＋＋…＋1＝＝，bn＝＝4，所以b1＋b2＋…＋bn＝4＋4＋…＋4＝4＝4.[答案]A7．(2018·广西高三适应性测试)已知数列{}的前n项和Sn＝n2，则数列的前n项和Tn＝______.[解析] ＝＝∴＝2n－1.∴＝＝，∴Tn＝＝＝.[答案]8．设数列{an}的通项公式为an＝22n－1，令bn＝nan，则数列{bn}的前n项和Sn为______.[解析]由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1，②①－②得(1－22)·Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．[答案][(3n－1)22n＋1＋2]9．(2018·内蒙古百校联盟3月数学模拟试卷)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足n(n＋1)S＋(n2＋n－1)Sn－1＝0(n∈N*)，则S1＋S2＋…＋S2017＝______.[解析] n(n＋1)S＋(n2＋n－1)Sn－1＝0(n∈N*)，∴(Sn＋1)＝0，Sn＞0.∴n(n＋1)Sn－1＝0，∴Sn＝＝－.∴S1＋S2＋…＋S2017＝＋＋…＋＝.故答案为：.[答案]10．(2017·天津)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．[解](1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q>0，解得q＝2.所以，bn＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8①.由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16②，联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.所以，数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.(2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，有a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，上述两式相减，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋12＝－4－(3n－1)×4n＋1得Tn＝×4n＋1＋.所以，数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n＋1＋.[B能力提升练]1．已知等比数列的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，则数列lga1,2lga2,22lga3,23lga4，…，2n－1lgan，…的前n项和Sn等于()A．n·2nB．(n－1)·2n－1－1C．(n－1)·2n＋1D．2n＋1[解析] ...
