考点规范练33均值不等式及其应用基础巩固1.下列不等式一定成立的是()A.lg>lgx(x>0)B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)2.(2017山东枣庄一模)若正数x,y满足=1,则3x+4y的最小值是()A.24B.28C.25D.263.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.64.(2017山东日照一模)已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为()A.8B.9C.16D.185.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是()A.B.C.2D.6.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元7.若两个正实数x,y满足=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()1A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)8.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,则的最大值为()A.2B.C.1D.9.(2017山东,文12)若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.10.(2017江苏徐州模拟)已知正数a,b满足2a2+b2=3,则a的最大值为.11.(2017山西临汾二模)近来鸡蛋价格起伏较大,假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/千克、b元/千克,家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同:家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋,家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋,试比较谁的购买方式更实惠(两次平均价格低视为实惠).(在横线上填甲或乙即可)12.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价%,若p>q>0,则提价多的方案是.13.设a,b均为正实数,求证:+ab≥2.2能力提升14.不等式2x2-axy+y2≥0对于任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是()A.a≤2B.a≥2C.a≤D.a≤15.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为()A.1B.2C.3D.416.已知实数x,y满足x>y>0,且x+y=1,求的最小值.高考预测17.(2017山东德州一模)已知圆:x2+y2+2ax+a2-9=0和圆:x2+y2-4by-1+4b2=0有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则的最小值为()A.1B.3C.4D.518.若a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.3参考答案考点规范练33均值不等式及其应用41.C解析因为x>0,所以x2+≥2·x·=x,所以lg≥lgx(x>0),故选项A不正确;当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;由均值不等式可知选项C正确;当x=0时,有=1,故选项D不正确.2.C解析 正数x,y满足=1,∴3x+4y=(3x+4y)=13+≥13+3×2=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.∴3x+4y的最小值是25.故选C.3.B解析由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,故m+n=2(a+b)≥4=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).4.B解析由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以(a+b)=5+≥5+4=9,当且仅当,即2a=b=时等号成立,故选B.5.C解析由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),则12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值为2.6.C解析设底面矩形的长和宽分别为am,bm,则ab=4m2.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.7.D解析因为x>0,y>0,=1,所以x+2y=(x+2y)=2++2≥8,5当且仅当,即x=2y时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-41,b>1,所以ab≤=3,所以lg(ab)≤lg3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立.9.8解析 直线=1过点(1,2),∴=1. a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)·=4+≥4+2=8.当且仅当b=2a时等号成立.10.解析a(2a2+b2+1)=×(3+1)=,当且仅当a=,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1时,等号成立.故a的最大值为.11.乙解析甲购买产品的平均单价为,乙购买产品的平均单价为. ≥0,且两次购买的单价不同,6∴a≠b,∴>0,∴乙的购买方式的平均单价较小.故答案为乙.12.乙解析设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a.由于(1+p%)(1+q%)<=,故提价多的是方案乙.13.证明因为a,b均为正实数,所以≥2,当且仅当,即a=b时,等号成立,又因为+ab≥2=2,当且仅当=ab时,等号成立,所以+ab≥+ab≥2,当且仅当即a=b=时,等号成立.14.A解析因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,所以2-a+1≥0.7令t=,则不等式变为2t2-at+1≥0.由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈,即2t2-at+1≥0在t∈时恒成立....
