考点15正弦定理和余弦定理一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b=()A.B.C.2D.3【解析】选D.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得=b2+22-2b×2×cosA,即3b2-8b-3=0,解得b=-(舍)或b=3.2.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T8)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=()A.B.C.-D.-【解题指南】根据正弦定理求解.【解析】选C.设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由题意得S△ABC=a·a=acsinB.∴c=a.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+a2-2×a×a×=a2.∴b=a.∴cosA=.3.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T9)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA=()A.B.C.D.【解题指南】根据正弦定理求解.【解析】选D.设BC边上的高为AD,且AD=m,因为B=,则BD=m,AB=m,又因为AD=BC,所以DC=2m,AC=m,由正弦定理得sin∠BAC=.4.(2016·山东高考文科·T8)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A=()A.B.C.D.【解题指南】变形后,利用余弦定理巧妙求解.【解析】选C.由题意1-sinA=,所以sinA=1-==cosA,所以A=.5.(2016·天津高考理科·T3)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4【解题指南】利用余弦定理得出∠C与三边的关系,然后求解.【解析】选A.设AC=x,由余弦定理得:cosC=,得x2+3x-4=0.解得x=1或-4(舍),所以AC=1.二、填空题6.(2016·全国卷Ⅱ文科·T15)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T13)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.【解题指南】已知cosA,cosC,可求sinB,又a=1,可利用正弦定理求解.【解析】因为cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,由正弦定理得,解得b=.答案:7.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C.(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.【解析】(1)2cosC(acosB+bcosA)=c,由正弦定理得:2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC,2cosC·sin(A+B)=sinC.因为A+B+C=π,A,B,C∈(0,π),所以sin(A+B)=sinC>0,所以2cosC=1,cosC=.因为C∈(0,π),所以C=.(2)由余弦定理得:c2=a2+b2-2ab·cosC,7=a2+b2-2ab·,(a+b)2-3ab=7,S=ab·sinC=ab=,所以ab=6,所以(a+b)2-18=7,a+b=5,所以△ABC的周长为a+b+c=5+.8.(2016·浙江高考文科·T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B.(2)若cosB=,求cosC的值.【解题指南】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinΒ=sin(Α-Β),再判断Α-Β的取值范围,进而可证Α=2Β;(2)由cosB的值可以求出A的三角函数值,又由C=π-(A+B)的关系求cosC的值.【解析】(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是,sinB=sin(A-B),又A,B∈(0,π),故0
0,则sinA=,即=,由(1)可知=1,所以,所以tanB=4.11.(2016·天津高考文科·T15)(本小题满分13分)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知asin2B=bsinA.(1)求B.(2)若cosA=,求sinC的值.【解题指南】(1)利用正弦定理实现边化角,化简得到cosB,结合B的范围得出B.(2)利用三角形内角和为π,将所求角化为两已知角的和,再根据两角和的正弦公式求解.【解析】(1)在△ABC中,由可得asinB=bsinA,又由asin2B=bsinA得2asinB·cosB=bsinA,整理得cosB=,因为B为△ABC的内角,所以B=.(2)在△ABC中,sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),由cosA=得sinA=,所以sinC=sin=sinA+cosA=.
