中档大题规范练(二)(建议用时：60分钟)1．△ABC内角为A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝＋.(1)求sin(A＋B)＋sinAcosA＋cos(A－B)的最大值；(2)若b＝，当△ABC的面积最大时，求△ABC的周长．[解](1)由＝＋得：＝，∴a＝bcosC＋csinB，即sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，∴cosB＝sinB，B＝；由sin(A＋B)＋sinAcosA＋cos(A－B)＝(sinA＋cosA)＋sinAcosA，令t＝sinA＋cosA，t∈(0，]，原式＝t2＋t－，当且仅当A＝时，上式取得最大值，最大值为.(2)S＝acsinB＝ac，b2＝a2＋c2－2accosB，即2＝a2＋c2－ac≥(2－)ac，ac≤2＋，当且仅当a＝c＝等号成立；Smax＝，周长L＝a＋b＋c＝2＋.2.如图55，已知四棱锥PABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，E是DP中点．图55(1)证明：PB∥平面ACE；(2)若AP＝PB，AB＝PC＝PB，求平面EAC与平面PBC所成二面角的正弦值．[解](1)证明：如图，连接BD，BD∩AC＝F，连接EF， 四棱锥PABCD的底面为菱形，∴F为BD中点，又 E是DP中点，∴在△BDP中，EF是中位线，∴EF∥PB，又 EF⊂平面ACE，而PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE.(2)如图，取AB的中点Q，连接PQ，CQ， ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，∴CQ⊥AB.设AB＝PC＝2，∴AP＝PB＝，∴CQ＝，且△PAB为等腰直角三角形，即∠APB＝90°，PQ⊥AB，∴AB⊥平面PQC，且PQ＝1，∴PQ2＋CQ2＝CP2，∴PQ⊥CQ.如图，建立空间直角坐标系，以Q为原点，BA所在的直线为x轴，QC所在的直线为y轴，QP所在的直线为z轴，则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0，，0)，P(0,0,1)，B(－1,0,0)，D(2，，0)，E，AE＝，AC＝(－1，，0)，PB＝(－1,0，－1)，PC＝(0，，－1)，设n1＝(x1，y1，z1)为平面AEC的一个法向量，则即，可取n1＝(，1，－)．设n2＝(x2，y2，z2)为平面PBC的一个法向量，则即可取n2＝(－，1，)．于是|cos〈n1，n2〉|＝＝.所以平面EAC与平面PBC所成二面角的正弦值为.3．(2018·永州市三模)某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000,6000,2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率)：工种类别ABC赔付频率已知A，B，C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．(1)求保险公司在该业务所或利润的期望值；(2)现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支．请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议．[解](1)设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z，则X、Y、Z的分布列为X2525－100×104P1－Y2525－100×104P1－Z4040－50×104P1－保险公司的期望收益为E(X)＝25＋(25－100×104)×＝15；E(Y)＝25＋(25－100×104)×＝5；E(Z)＝40×＋(40－50×104)×＝－10；保险公司的利润的期望值为12000×E(X)＋6000×E(Y)＋2000×E(Z)－100000＝90000，保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．(2)方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：12000×100×104×＋6000×100×104×＋2000×50×104×＋12×104＝46×104，方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：(12000×25＋6000×25＋2000×40)×0.7＝37.1×104，46×104＞37.1×104，故建议企业选择方案2.4．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程，并说明方程表示什么轨迹；(2)若直线l的极坐标方程为sinθ－cosθ＝，求直线l被曲线C截得的弦长．[解](1)因为曲线C的参数方程为(α为参数)，所以曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10，①曲线C表示以C(3...
