小题提速练(六)“12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·江西上饶中学月考)若集合A＝{x|x2－7x＜0，x∈N*}，则B＝中元素的个数为()A．3B．2C．1D．0[答案]A2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a8等于()A．8B．9C．10D．11[答案]B3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图1中以x表示：则7个剩余分数的方差为()A.B.C．36D.[答案]B4．“m＝1”是“直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C5．(2016·全国卷Ⅰ)如图2，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是()图2A．17πB．18πC．20πD．28π[答案]A6．已知sin2α＝，则cos2等于()A．－B．－C.D.[答案]D7．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a等于()图3A．0B．2C．4D．14[答案]B8．若将一个质点随机投入如图4所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()图4A.B.C.D.[答案]B9．已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为()A．－1B．3C．7D．8[答案]C10．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1－2x，则y＝f(x)的图象大致为()[答案]A11．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图5所示，则f等于()图5A．2＋B.C.D．2－[答案]B12．(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B.C.D.[答案]A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．圆x2＋y2＋x－2y－20＝0与圆x2＋y2＝25相交所得的公共弦长为________．[解析]公共弦的方程为(x2＋y2＋x－2y－20)－(x2＋y2－25)＝0，即x－2y＋5＝0，圆x2＋y2＝25的圆心到公共弦的距离d＝＝，而半径为5，故公共弦长为2＝4.[答案]414．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________.[解析]f′(x)＝ex－2，可得f′(x)＝0的根为x0＝ln2.当x＜ln2时，f′(x)＜0，可得函数在区间(－∞，ln2)上为减函数，当x＞ln2时，f′(x)＞0，可得函数在区间(ln2，＋∞)上为增函数，∴函数y＝f(x)在x＝ln2处取得极小值f(ln2)＝2－2ln2＋a，并且这个极小值也是函数的最小值．由题设知函数y＝f(x)的最小值要小于或等于零，即2－2ln2＋a≤0，可得a≤2ln2－2，故答案为(－∞，2ln2－2]．[答案](－∞，2ln2－2)15．已知△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA＝PD＝AB＝2，∠APD＝90°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于________．[解析]如图在Rt△PAD中，AD＝＝2，过△PAD的外心M作垂直于平面PAD的直线l，过四边形ABCD的外心O作垂直于平面ABCD的直线m，两线交于点O，则点O为四棱锥PABCD的外接球球心，2R＝AC＝＝2(R为四棱锥PABCD外接球的半径)，即R＝，∴四棱锥PABCD外接球的表面积S＝4πR2＝12π.[答案]12π16．已知△ABC中的内角为A，B，C，重心为G，若2sinA·GA＋sinB·GB＋3sinC·GC＝0，则cosB＝________.[解析]设a，b，c分别为角A，B，C所对的边，由正弦定理得2aGA＋bGB＋3cGC＝0，则2aGA＋bGB＝－3cGC＝－3c(－GA－GB)，即(2a－3c)GA＋(b－3c)GB＝0，又因为GA，GB不共线，则2a－3c＝0，b－3c＝0，即2a＝b＝3c，所以a＝，c＝，∴cosB＝＝.[答案]
