第5章平面向量、数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的数量积及其应用模拟创新题理一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于()A.－16B.－8C.8D.16解析 ∠C＝90°，∴AC·CB＝0， AB＝AC＋CB，∴AB·AC＝(AC＋CB)·AC＝AC2＋CB·AC＝AC2＝16.答案D2.(2016·广东三门模拟)若非零向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则()A.|2a|＞|2a＋b|B.|2a|＜|2a＋b|C.|2b|＜|a＋2b|D.|2b|＞|a＋2b|解析因为|a＋b|＝|b|，则|a＋b|2＝|b|2，即a2＋2a·b＝0，所以a·b＜0，因为|a＋2b|2－|2b|2＝a2＋4a·b＜0，故选D.答案D3.(2015·河南洛阳模拟)已知向量OB＝(2，0)，向量OC＝(2，2)，向量CA＝(cosα，sinα)，则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是()A.B.C.D.解析由题知点A在以C(2，2)为圆心，为半径的圆上，设OD，OE为圆的切线，在△COD中，OC＝2，CD＝，∠CDO＝，所以∠COD＝，又因为∠COB＝，所以当A在D处时，则OA与OB夹角最小为－＝，当A在E处时，则OA与OB夹角最大为＋＝，∴OA与OB夹角的取值范围是，∴故答案为B.答案B4.(2015·广东实验中学测试)在△ABC中，已知向量AB与AC满足(＋)·BC＝0且·＝，则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析设∠BAC的角平分线为AD，则＋＝λAD.由已知得AD⊥BC，∴△ABC为等腰三角形.又cosA＝，∴A＝60°，∴△ABC为等边三角形，故选D.答案D二、填空题5.(2016·福建漳州模拟)已知a·b＝0，|a＋b|＝t|a|，若a＋b与a－b的夹角为，则t的值为________.解析 a·b＝0，∴|a＋b|＝|a－b|，又|a＋b|＝t|a|，∴a2＋b2＝t2a2，t>0，∴b2＝(t2－1)a2，t>1，由向量夹角公式得：cos＝＝＝＝－，解得t＝2或t＝－2(舍去).答案2创新导向题利用数量积求向量的模问题6.已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝()A.1B.C.4＋D.2解析 |a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，∴|a＋2b|＝＝，故选B.答案B利用数量积求解三角形问题7.在△ABC中，BC＝5，O，G分别为△ABC的重心和外心，且OG·BC＝5，则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种情况都有可能解析以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(0，0)，C(5，0)，设A(a，b)，G，则O， BC＝(5，0)，OG＝，∴OG·BC＝5得×5＝5，解得a＝－，则BC·BA＝5a＝－＜0，所以△ABC为钝角三角形.答案B专项提升测试模拟精选题一、选择题8.(2016·山西四校联考)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若AB＋AC＝2AO，且|OA|＝|AC|，则BA在向量BC方向上的投影为()A.B.C.3D.－解析△ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此△ABC是直角三角形，且∠A＝.又因为|OA|＝|CA|，∴∠C＝，∠B＝，∴AB＝，AC＝1，故BA在BC方向上的投影|BA|cos＝.答案A二、填空题9.(2015·四川乐山模拟)已知向量a，b满足：|a|＝13，|b|＝1，|a－5b|≤12，则b在a上的投影的取值范围是________.解析由已知得|a－5b|2≤144，又|a|＝13，|b|＝1，所以169－10a·b＋25≤144，所以a·b≥5，所以b在a上的投影|b|·cos〈a，b〉＝≥，又cos〈a，b〉≤1，所以b在a上的投影取值范围为.答案10.(2015·泰州市高三期末)在梯形ABCD中，AB＝2DC，|BC|＝6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足AP＋BP＋4DP＝0，DA·CB＝|DA|·|DP|，Q为边AD上的一个动点，则|PQ|的最小值为________.解析取AB的中点E，连接PE， AB＝2DC，AB＝2EB，∴DC＝EB，∴四边形DEBC为平行四边形，∴DE＝CB， AP＋BP＝－2PE，AP＋BP＋4DP＝0，∴PE＝2DP. |BC|＝6.∴|DP|＝2，|PE|＝4，设∠ADP＝θ， DA·CB＝|DA|·|DP|，∴DA·CB＝|DA||CB|cosθ＝|DA|·|DP|，∴cosθ＝，∴sinθ＝，当PQ⊥AD时，|PQ|最小，∴|PQ|＝|DP|sinθ＝2×＝，故答案为：.答案三、解答题11.(2016·山东实验中学二模)如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA，OB分别相交于点M，N，若OM＝xOA，ON＝yOB.(1)利用NM∥MP，把y用x表示出来(即求y＝f(x)的解析式)；(2)设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足Sn＝f(Sn－1)(n≥2且n∈N*)，求数列{an}的通项公式.解(1) OP＝AB＝OB－OA，∴MP＝OP－OM＝－(1＋x)OA＋OB， NM＝OM－ON＝xOA－yOB...
