题组层级快练(五十五)1．若平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合答案C解析由(1,2,0)·(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．2．已知点A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB与AC的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析由已知得AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)，∴cos〈AB，AC〉＝＝＝.∴向量AB与AC的夹角为60°.3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A．(，，－)B．(，－，)C．(－，，)D．(－，－，－)答案D解析AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,1)，设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，∴令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)．单位法向量为±＝±(，，)．4．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，BP＝(x－1，y，－3)．若AB⊥BC，且BP⊥平面ABC，则BP＝()A．(，－，－3)B．(，－.－3)C．(，，－3)D．(，－，－3)答案D解析 AB⊥BC.∴AB·BC＝0，即1×3＋5×1－2×z＝0，解得z＝4.又BP⊥平面ABC，∴有即解得∴BP＝(，－，－3)．故选D.5.如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0
