不会飞的蝴蝶——蝴蝶定理在中学平面几何中，有这样一个著名的命题：过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB于Q、P。求证：PM=MQ。由于题目的图形象一只蝴蝶，因此后人给它取名为“蝴蝶定理”。这个题最早出现在公元1815年西欧的一本通俗杂志《男士日记》上，登出来是为了征求证明。登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师霍纳就给出了第一个证明。不过，霍纳的证明比较繁，使用的知识也比较深。158年以后的1973年，又一位中学教师斯特温利用三角形面积关系，给出了一个漂亮而简捷的证明。从这以后，这个定理限于初等数学，甚至只限于初中数学的证明象雨后春笋般脱颖而出，证法多得不枚胜举。下面仅举四例与读者共同欣赏。证法一：（斯特温法）如图，设AM=MB=a，MQ=x，PM=y。又设△EPM、△CMQ、△FMQ、△DMP的面积分别为S1、S2、S3、S4。因为∠E=∠C，∠D=∠F，∠CMQ=∠PMD，∠FMQ=∠PME，所以有=1，即==1。就是PE·DP·(MQ)2=CQ·FQ·(MP)2。由相交弦定理有CQ·FQ=BQ·QA=(a-x)(a+x)=a2-x2，PE·DP=AP·PB=(a-y)(a+y)114=a2-y2，所以有(a2-y2)x2=(a2-x2)y2，即a2y2=a2x2， x、y都是正数，∴x=y，即PM=MQ。这就是斯特温的证明方法。证法二：（反证法）仍采用证法一的各种记法。假设QM>MP，即x>y。这时有a2-x2
PM矛盾。同理可证QM
