3第3节极坐标系下二重积分的计算在有些情形下，用极坐标来计算二重积分比较简便．3.1利用极坐标计算二重积分设区域用极坐标表示为（看黑板图）．（参见图3.2，其中称为小边界，称为大边界。）要计算用下面特殊分割和特殊取点计算上面二重积分。用一些射线常数、一些圆弧常数分割。设第小块的极角、极角增量、极径、极径增量为，则。取点。则我们发现右边极限正好是用极坐标计算的积分。因此这就是用极坐标计算二重积分的公式。（刚好夹在射线之间；小边界和大边界的找法：，射线截得截线。）注意：用极坐标计算二重积分时，总是先对后对积分；用坐标关系，代入，并且面积元素多一个因子，即．18离散数学(2)若区域的小边界收归极点（图3.3），则可表示为：，则有；(3)若极点包含在区域的内部（图3.4），可表示为：，故有．有时或是边界的切线（看黑板图）。图3.3OAab图3.2OA1()a2()bD图3.4OA()D17第1章集合【例3.1】计算，其中分别为()(1)；(2)；(3)．解(1)：为圆心在原点，半径为的上半圆域（图3.5）．其在极坐标系下表示为：，故．(2)：为圆心在原点，半径为的右半圆域（图3.6）．其在极坐标系下可表示为：，故．y图3.5xy图3.7Oxy图3.6Ox18离散数学(3)：为圆心在点处，半径为的圆的上半圆域（图3.7）．极坐标系下可表示为，故，．【例3.2】求，其中是由，，，所围的位于第一象限部分的闭区域．解边界曲线在极坐标系下的方程为：，，，．求边界曲线的交点．由，，得，所以．区域的大有两个不一样的表示式，必须用射线将区域分成两块（图3.8）．;．方法总结：当边界的表示式不一致时，作适当分割。1Dy图3.8Ox2D17第1章集合【例3.3】计算，其中．解函数在直角坐标系下无法直接积分．利用极坐标系，有，，故．现利用上述结论来求得积分：．设，，．则有（图3.9），因，由积分的不等式性质，有，由上例可知，，故有，又因为，，所以，即．称为Euler-Poisson积分，其值为，这一结论在概率论等课程中有着重要的应用．注意：积不出来。方法总结：当积分区域的边界有圆弧，或被积函数有时，用极坐标计算二重积分特别简单。ay图3.9Ox2a18离散数学（测）【例3.4】设平面上两定点间的距离为，动点到两定点的距离之积为，称动点的轨迹为双纽线．求双纽线所围图形的面积．解建立直角坐标系．设两定点的坐标为，，动点的坐标为，则有，，由题意得，即，整理方程得，，令，，，故曲线方程为：．由曲线方程知，双纽线关于,轴是对称的，故的面积是的面积的4倍．这里．．利用对称性可以简化计算。当积分区域的对称性与被积函数关于自变量的奇偶性相配合时，关于二重积分的计算，容易得到如下结论：(1)若被积函数关于是奇函数，积分区域关于轴对称，则有；(2)若被积函数关于是偶函数，积分区域关于轴对称，则有，其中为位于轴的右侧的半区域．(3)若被积函数关于是奇函数，积分区域关于轴对称，则有；(4)若被积函数关于是偶函数，积分区域关于轴对称，则有，其中为位于轴的上侧的半区域．(5)若积分区域关于对称，则有，我们y图3.10Ox1D2P1P17第1章集合也称这种对称性为轮换对称性．【例3.5】计算,其中．解因积分区域是圆域，关于轴、轴对称，故有，此处利用了上面性质(1),(3).从而有.又因关于直线对称，由上面性质(5)，有，从而.思考题：1．若，，则有(1)；(2)；上面两式是否成立？（（1）错，（2）对。）2．设，则．是否正确？（错！因为积分过程中，积分变量在整个积分区域上变化，而不只是在的边界上。）18离散数学3.2*二重积分的换元法上面我们介绍了利用极坐标系计算二重积分，当积分区域或被积函数具有某种特点时，利用极坐标变换可使二重积分的计算简化．但极坐标变换只是一种特殊的坐标变换，有时我们还可以通过一般的坐标变换简化积分的计算.下面我们介绍一般的坐标变换下二重积分的计算公式．定理3.1设函数在平面上的有界闭区域上连续，变换,，(3.2)将面上的平面区域一一对应地映射为平面的区域，函数，在上有一阶连续偏导数，且，时，则有二重积分的换元公式．(3.3)此公式的证明较为复杂，仅做一般的说明．在上述变换下，面上的点可用两曲线的交点来表示，即，(3.4)...
