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九年级上册24.1.2-垂直于弦的直径VIP免费

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人教版九年级上册数学24.1.2垂直于弦的直径赵州桥主桥拱的半径是多少?问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?情境导入本节目标1.进一步认识圆,了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论,并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.(重点)3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.(难点)1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.·OABE解:OEAB222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答:⊙O的半径为5cm.118422AEAB在RtAOE△中预习反馈2.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形ADOE是正方形.D·OABCE证明:OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形,又 AC=AB1122AEACADAB,∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.预习反馈可以发现:圆是轴对称图形.任何一条直径所在直线都是它的对称轴.垂径定理及其推论问题1剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?你能证明这个结论吗?课堂探究问题2如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下:把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,点A与点B重合,AE与BE重合,AC和BC,AD与BD重合.⌒⌒⌒⌒·OABDEC课堂探究垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. CD是直径,CD⊥AB,∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.归纳总结推导格式:温馨提示:垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.课堂探究想一想:下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是,请说明为什么?是不是,因为没有垂直是不是,因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE课堂探究垂径定理的几个基本图形:ABOCDEABOEDABODCABOC课堂探究思考:“不是直径”这个条件能去掉吗?如果不能,请举出反例.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论·OABCD特别说明:圆的两条直径是互相平分的.归纳总结课堂探究例1如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.·OABE解析:连接OA, OE⊥AB,∴AB=2AE=16cm.16垂径定理及其推论的计算∴22221068AEOAOEcm.典例精析例2如图,⊙O的弦AB=8cm,直径CE⊥AB于D,DC=2cm,求半径OC的长.·OABECD解:连接OA, CE⊥AB于D,∴1184(cm)22ADAB设OC=xcm,则OD=x-2,根据勾股定理,得解得x=5,即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2,典例精析你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用典例精析ABOCD解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D,与弧AB交于点C,则D是AB的中点,C是弧AB的中点,CD就是拱高.∴AB=37m,CD=7.23m.解得R≈27.3(m).即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2 ∴AD=AB=18.5m,OD=OC-CD=R-7.23.222OAADOD典例精析练一练:如图a、b,一弓形弦长为cm,弓形所在的圆的半径为7cm,则弓形的高为________.46CDCBOADOAB图a图b2cm或12cm典例精析在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d(圆心到弦的距离),弓形高h的计算题时,常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形,利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a,弦心距d,弓形高h,半径r之间有以下关系:弓形中重要数量关系ABCDOhrd2a2222ardd+h=rOABC·典例精析垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论(“知二推三”)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线:连半径,作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形本课小结1.已知⊙O中,弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径为.5cm2.⊙O的直径A...

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