九年级上册24.1.2-垂直于弦的直径VIP专享VIP免费

人教版九年级上册数学24.1.2垂直于弦的直径赵州桥主桥拱的半径是多少？问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？情境导入本节目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：OEAB222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：⊙O的半径为5cm.118422AEAB在RtAOE△中预习反馈2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又 AC=AB1122AEACADAB，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.预习反馈可以发现：圆是轴对称图形.任何一条直径所在直线都是它的对称轴．垂径定理及其推论问题1剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明这个结论吗？课堂探究问题2如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC课堂探究垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.归纳总结推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.课堂探究想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE课堂探究垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABODCABOC课堂探究思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结课堂探究例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.·OABE解析：连接OA， OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16垂径定理及其推论的计算∴22221068AEOAOEcm.典例精析例2如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA， CE⊥AB于D，∴1184(cm)22ADAB设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，典例精析你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用典例精析ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2 ∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.222OAADOD典例精析练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.46CDCBOADOAB图a图b2cm或12cm典例精析在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABCDOhrd2a2222ardd+h=rOABC·典例精析垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形本课小结1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.5cm2.⊙O的直径A...