专题一集合、函数与导数专题一第一讲集合与常用逻辑用语一、考试说明要求内容要求1、集合集合及其表示A子集B交集、并集、补集B2、常用逻辑用语命题的四种形式A必要条件、充分条件、充分必要条件B简单的逻辑联结词A全称量词与存在量词A二、例题1、（1）已知集合M=｛a2,a+1,-3｝,N=｛a-3,2a-1,a2+1｝,若M∩N=｛-3｝,则a的值是(2)已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+10,b>0},当A∩B只有一个元素时a,b的关系式是_________新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆[解析]：(1)M∩N=｛-3｝N=｛a-3,2a-1,a2+1｝若a-3=-3,则a=0,此时M={0,1,-3},N={-3,-1,1}则M∩N=｛-3,1｝故不适合若2a-1=-3,则a=-1,此时M={1,0,-3},N={-4,-3,2}若a2+1=-3,此方程无实数解(2) A∪B=A，∴BA,又B≠,∴即2＜m≤4新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆(3)由A∩B只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线=1相切，则1=,即ab=新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆2、已知集合其中，由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序实数对，集合的元素个数分别为.若对于任意的，则称集合具有性质.（1）检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合写出相应的集合；（2）对任何具有性质的集合，证明：；解析：（1）解：集合不具有性质，具有性质，其相应的集合是；（2）证明：首先由中的元素构成的有序实数对共有个，因为,又因为当，所以当，于是集合中的元素的个数最多为，即.3、对于函数，若，则称x为的“不动点”；若，则称x为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记作A和B.（1）若，求证：.（2）若且，求实数a的取值范围。解析：（1）因为则即（2）A中元素是方程即的实根。由知或即。B中元素是方程的实根。由知上述方程左边含有一个因式，所以方程可化为，因此，要A＝B，则只需方程①没有实根，或①实根就是方程②的实根，若①无实根则解得：；若①有实根，且①的实根是②的实根，联立方程①②解得，故a的取值范围是.4、（1）已知命题，命题p的否定为命题q，则q是“”；q的真假为（填真或假）.（2）设原命题：“若，则a,b中至少有一个不小于1”.则原命题的逆否命题与其逆命题的真假情况是:原命题的逆否命题为；原命题的逆命题为.解析：（1）q：“；假.(2)真；假.5、(1)若""和""都是真命题,其逆命题都是假命题，则""是""的条件。(2)一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是.[解析]：（1）充分非必要条件（2）一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件是,即而的一个充分不必要条件是6、设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）必要性，设是{an}公差为d1的等差数列，则bn+1–bn=(an+1–an+3)–(an–an+2)=(an+1–an)–(an+3–an+2)=d1–d1=0所以bnbn+1(n=1,2,3,…)成立。又cn+1–cn=(an+1–an)+2(an+2–an+1)+3(an+3–an+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1,2,3,…)所以数列{cn}为等差数列。充分性：设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bnbn+1(n=1,2,3,…) cn=an+2an+1+3an+2①∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4②①-②得cn–cn+2=（an–an+2）+2(an+1–an+3)+3(an+2–an+4)=bn+2bn+1+3bn+2 cn–cn+2=(cn–cn+1)+(cn+1–cn+2)=–2d2∴bn+2bn+1+3bn+2=–2d2③从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=–2d2④④-③得（bn+1–bn）+2(bn+2–bn+1)+3(bn+3–bn+2)=0⑤ bn+1–bn≥0,bn+2–bn+1≥0,bn+3–bn+2≥0,∴由⑤得bn+1–bn=0(n=1,2,3,…)，由此不妨设bn=d3(n=1,2,3,…)则an–an+2=d3(常数).由此cn=an+2an+1+3an+2=cn=4an+2an+1–3d3从而cn+1=4an+1+2an+2–5d3，两式相减得cn+1–cn=2(an+1–an)–2d3因此(常数)(n=1,2,3,…)所以数列{an}公差等差数...
