1．前面我们学过了平面向量的数量积，大家还记得吗？回忆一下吧．2．空间向量的数量积概念应该是怎么样的，还能用平面向量数量积公式表示吗？3．类比平面向量数量积，你能得出空间向量数量积的相关性质吗？问题情境1．空间向量的夹角及其表示：OABaabb构建数学我们知道，任意两个空间向量都是共面向量，因此，两个空间向量的夹角以及它们的数量积就可以像平面那样来定义．已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则角∠AOB叫做向量与的夹角，记作：<，>范围：0≤<，>≤π，在这个规定下，两个向量的夹角就被惟一确定了，并且<，>＝<，>．如果<，>＝，则称，互相垂直，并记作：⊥．2.两个空间向量的数量积．注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零．abab设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：││；已知空间两个向量，，则││││cos<，>叫做向量，的数量积，记作·，即．·＝││││cos<，>由此可得，求空间两个非零向量，的夹角<，>的公式cos<，>＝．（4）空间向量的数量积性质．2(1)cos(2)0(3)aeaaeababaaa＝，＝＝注意：①性质（2）是证明两向量垂直的依据；②性质（3）是求向量的长度（模）的依据．注意：①性质（2）是证明两向量垂直的依据；②性质（3）是求向量的长度（模）的依据．对于非零向量，有：对于非零向量，有：ab，（5）空间向量的数量积满足的运算律．注意：数量积不满足结合律)()（abcabc≠(1)()()()(2)(3)()ababababbaabcabac＝＝＝＋＝＋（交换律）（分配律）数学应用121cos4322.4解：abababab，＝＝＝，×，＝例1已知││＝4，││＝，·＝4．求与的夹角<，>．ABCDA1C1D1B1例2如图，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．练一练如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°．求OA与BC的夹角的余弦值．DABC||||cos||||cos84cos13586cos12024162cos����解：，BCACABOABCOAACOAABOAACOAACOAABOAABOABC＝－＝－＝，－，＝××－××＝－，24162322855||||3225��所以，与的夹角的余弦值为OABCOABCOAOB－－＝＝＝×－回顾小结由学生总结一下以下概念：1．空间向量的夹角的概念；2．空间向量的数量积的概念、性质和运算律．
