06第6章--偏导数与全微分VIP免费

第6章偏导数与全微分6.1空间直角坐标系与向量的概念6.2多元函数的极限与连续6.3偏导数6.4全微分6.5多元函数的极值6.1.1空间直角坐标系6.1.2向量的概念及其线性运算6.1.3向量的坐标表示6.1.4向量的点积与叉积6.1.5内容小结6.1空间直角坐标系与向量的概念6.1.1空间直角坐标系1.空间直角坐标系的构成过空间中的一点O,作三条两两相互垂直的数轴ox,oy,oz(如图6-1).规定o为坐标原点,并按下述方法规定三条数轴的方向:将右手伸直.拇指向上的方向为oz轴的正方向,其余四指的指向为ox轴的正方向,四指弯曲90后的指向为oy轴的正方向.这样建立的空间直角坐标系称为右手系.三条轴分别称为x轴(横轴)、y轴（纵轴）和z轴（立轴）.三条坐标轴中每两条确定的平面,称为坐标平面.空间直角坐标系中的点M的坐标为有序数组(,,)abc,其中,,abc分别称为横坐标、纵坐标和立坐标.ⅢzⅡzⅣⅠyOyⅦⅥxxⅧⅤ图6-1图6-2oyOz平面xOy平面xOz平面由x轴和y轴确定的平面称为xoy平面;由y轴和z轴确定的平面称为yoz平面;由x轴和z轴确定的平面称为xoz平面.三个坐标平面将空间分为八个卦限(图6-2).6.1.2向量的概念及其线性运算向量:既有大小又有方向的量称为向量(或矢量),如速度、位移等.向量的表示:用黑体小写的字母表示向量，如a,b,c等，也用,,abc等表示向量.在几何上,向量可用从起点到终点的有向线段来表示.如：向量AB�（如图6-3）.向量的模:有向线段的长度表示向量的大小,称为向量的模,记作AB�或a,向量的方向:有向线段的方向表示向量的方向.AB图6-31.向量的基本概念单位向量:模等于1的向量零向量:模等于0的向量记作0,零向量的方向是任意的.负向量:与向量a大小相等方向相反的向量称为向量a的负向量,记作-a.平行向量:如果两个非零向量a,b的方向相同或相反,则称它们平行,记作//ab向径:如果向量的起点为坐标原点,终点为空间某一点,则称这样的向量为向径,如向径OM�自由向量:如果向量只取决于其大小和方向,与其起点位置无关,则称这样的向量为自由向量.(1)向量加法和减法：两个向量加法的平行四边形法则:设向量a,b,先将它们平移使起点重合,然后以a,b为邻边作平行四边形,则从公共起点到对角顶点的对角线所对应的向量就是向量a与b的和,记作a+b(如图6-4).两个向量加法的三角形法则:平移向量b,使b的起点与a的终点重合,则从a的起点到b的终点的向量就是向量a与b的和a+b(如图6-5).相等向量:当两个自由向量的大小相等,方向相同时,称为两个相等向量.2.向量的线性运算两个向量减法的三角形法则:将向量a与b的起点重合,则从b的终点到a的终点的向量就是向量a与b的差a-b.(如图6-6).a-bba+bb图6-4图6-5图6-6aaaba+b向量加法满足的运算规律:交换律:a+b=b+a结合律(a+b)+c=a+(b+c)(2)向量的数乘运算设向量a,实数,称与a的乘积为向量a的数乘运算,记作a.a仍是一个向量,其大小∣a∣=||∣a∣,其方向:当0时,a与a同向；当0时,与a反向；当0时,a0,方向任意.向量的数乘满足的运算规律:结合律:()()()aaa分配律:(),()aababaa由上述规律可知,如果a是非零向量,则aa1就是与a同向的单位向量.6.1.3向量的坐标表示设i,j,k为分别位于空间直角坐标系中x轴、y轴、z轴上的三个单位向量,且它们分别与坐标轴同向,称它们为基本单位向量,如图(6-7).设向径OM的终点M的坐标为(x,y,z),过点M分别作垂直于坐标轴的平面，在x轴、y轴、z轴上的交点分别为P.Q.R.由向量的数乘运算知向量i�OPx,OQyj�,ORzk�.于是向径OM�的坐标表示式为OMxyzijk�可简记为{,,}OMxyz�zRkMPiOjQyxN图6-71.向径的坐标表示式2.向量的坐标表示式设向量12MM�起点和终点分别为11112222(,,),(,,)MxyzMxyz,12212121{,,}MMxxyyzz�,称之为向量12MM�的坐标表示式.3.空间任意两点11112222(,,),(,,)MxyzMxyz间的距离公式:|12MM�|222212121()()()xxyyzz4.方向余弦:已知11112222(,,),(,,)MxyzMxyz，设向量12MM�与x轴、y轴、z轴的夹角分别为,,，则称cos,cos,cos为向量12MM�的方向余弦，且21222212121cos()()()xxxxyyzz21222212121cos()()()yyxxyyz...