新考纲高考系列数学概率与统计计算题1VIP专享VIP免费

-1-新考纲高考系列数学概率与统计计算题1计算题1.工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,,ppp，假设,,ppp互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,qqq，其中,,qqq是,,ppp的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；（Ⅲ）假定ppp，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是)1)(1)(1(321ppp，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于.)1)(1)(1(1321133221321321ppppppppppppppp（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为321,,qqq时，随机变量X的分布列为X123P1q21)1(qq)1)(1(21qq所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是.23)1)(1(3)1(2212121211qqqqqqqqqEX（III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，.232121ppppEX根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于321,,ppp的任意排列321,,qqq，都有-2-212123qqqq,232121pppp,,,,,,,,（*）事实上，)23()23(21212121ppppqqqq.0)]())[(1())((1())(2()()()()(2)()(221211221112221211221121212211qqppqqpqqppqpqpqpqpqpqqppqpqp即（*）成立.（方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为,)(312121qqqqq若交换前两人的派出顺序，则变为,)(312121qqqqq.由此可见，当12qq时，交换前两人的派出顺序可减小均值.（ii）也可将（II）中所求的EX改写为212123qqqq，或交换后两人的派出顺序，则变为313123qqqq.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当23qq时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.综合（i）（ii）可知，当),,(),,(321321pppqqq时，EX达到最小.即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.2.以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。（注：方差2222121nsxxxxxxn，其中x为1x，2x，,,nx的平均数）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为;435410988x-3-方差为.1611])43510()4359()4358()4358[(4122222s（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=.81162同理可得;41)18(YP;41)19(YP.81)21(;41)20(YPYP所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021P8141414181EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×81+18×41+19×41+20×41+21×81=193.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，,,，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：1x5678P0．...