欧拉法解常微分方程讲解VIP免费

数学与计算科学学院实验报告实验项目名称Eular方法求解一阶常微分方程数值解所属课程名称偏微分方程数值解实验类型验证性实验日期2015-3-26班级学号姓名成绩第1页共14页一、实验概述：【实验目的】熟练掌握应用显性Eular法和隐式Eular法求解一般一阶常微分方程的近似数值解。【实验原理】虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程。求解从实际问题当中归结出来的微分方程主要靠数值解法。欧拉方法是一类重要的数值解法。这类方法回避解y(x)的函数表达式，而是寻求它在一系列离散节点上的近似值，相邻的两个节点的间距称作步长。假定步长为定数。欧拉方法是一类离散化方法，这类方法将寻求解y(x)的分析问题转化为计算离散值值的代数问题，从而使问题获得了实质性的简化。然而随之带来的困难是，由于数据量往往很大，差分方法所归结出的可能是个大规模的代数方程组。【实验环境】1.硬件环境2.2.软件环境MATLAB7.0二、实验内容：第2页共14页【实验过程】（实验步骤）(一)实验任务描述某种化学反应过程的方程，利用显性和隐形Eualar方法求解下列一阶线性微分方程组的近似数值解：0)0(,0)0(,1)0(1031031004.01004.032122732272141221411yyyydtdyyyyydtdyyyydtdy(二)求解过程Eular方法：一阶线性微分方程初值问题为步长hnhxxbxxxayaybxayxfynn,....)(),,('0100（1）方程离散化：差分和差商hyyxxyyxy0101010)('),(),(),(00100010100yxhfyyyxhfyyhyyyxfnn（2）通过初始值0y，依据递推公式（2）逐步算出nyyy,....,,21就为显性的Eular方法。隐形Eular方法：),(),(1111101nnnnyxhfyyyxhfyy（3）公式（3）即为隐式Eular公式。第3页共14页（三）程序算法1.利用显式Eular法方求解利用MATLAB进行求解，编写脚本文件如下：文件名：hql.m%显性Eular方法f0=1;g0=0;z0=0delta=0.01;time=1;t=0:delta:time;f=zeros(size(t));g=zeros(size(t));z=zeros(size(t));f1=zeros(size(t));g1=zeros(size(t));z1=zeros(size(t));f(1)=f0;g(1)=g0;z(1)=z0;fori=2:length(t)f1(i-1)=-0.04*f(i-1)+10000*f(i-1)*g(i-1);f(i)=f(i-1)+f1(i-1)*delta;g1(i-1)=0.04*f(i-1)-10000*f(i-1)*g(i-1)-3*10^7*g(i-1)^2;g(i)=g(i-1)+g1(i-1)*delta;z1(i-1)=3*10^7*g(i-1)^2;第4页共14页z(i)=z(i-1)+z(i-1)*delta;Fun=f+g+zendfigureplot(t,f,'o');xlabel('t');ylabel('y1');title('t-y1变化图')figureplot(t,g,'o');xlabel('t');ylabel('y2');title('t-y2变化图')figureplot(t,z,'o');xlabel('t');ylabel('y3');title('t-y3变化图')figureplot(t,Fun);xlabel('t');ylabel('y1+y2+y3');title('t-y1+y2+y3变化图')第5页共14页【实验结论】A步长h=0.001时进行数据测试。结果如下：迭代第一次时，结果与方程描述内容相符。迭代第二次时，结果与方程描述内容基本相符。迭代三次时，结果与方程描述内容基本相符。第6页共14页迭代1000次时，模拟结果已经严重脱离事实，故当选择delta为0.001时，该迭代方法不收敛。时间与个变量直接的变化关系如图所示：第7页共14页第8页共14页从上述图形可以明显看出，在迭代的不断进行时，各变量与时间的变化越来越大，且严重脱离了方程所描述的现实意义。B.当选择h=0.00000001时，模拟结果如下：迭代第一次，与A中结果相同。迭代第二次，跌二次迭代结果明显优于一中。跌三次迭代结果，并未产生误差。第9页共14页地1000次迭代结果，结果明显是收敛的。时间与个变量直接的变化关系如图所示：第10页共14页从图中能够清晰看出，当h=0.00000001时，模拟结果与方程所表示的显示意义相吻合。说明了显性Eualr方法的收敛性是与步长的选择是相关。这就对我们们选择步长造成了困难，由于选择的步长不合适有可能得出错误的结论。第11页共14页【实验小结】（收获体会）1、软件使用在写MATLAB语言的时候要深刻理解题的意图，整理好思绪再做题目，在我运算的过程中，h取值取得越小、越细微，曲线逼近的越好。2、欧拉法的缺点简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。3、实验感想在这次上机实...