《两角差的余弦公式》课件VIP专享VIP免费

第三章三角恒等变换33.1.1两角差的余弦公式授课教师：王玉昶世界之窗中国上海东方明珠塔法国巴黎埃菲尔铁塔意大利比萨斜塔美国纽约帝国大厦中国台北101大厦悉尼歌剧院迪拜哈利法塔印度泰姬陵美国自由女神像埃及金字塔法国巴黎凯旋门中国长城-TheGreatWall中国西藏布达拉宫第三章三角恒等变换33.1.1两角差的余弦公式授课教师：王玉昶问：兰州西太华超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米？8m30x当电梯坡度为45°时，其他条件不变,x等于多少？当电梯坡度为15°时，其他条件不变,此时x又等于多少？25/1/1219问题2:你认为cos(α-β)=cosα-cosβ成立吗?330coscos(30)cos30213coscoscoscos360606020.2设、，则而因此，对角任意角α，β公式cos(α－β)＝cosα－cosβ一般不成立.问题1：cos15°等于多少？能否用特殊角三角函数值来表示？探究：探究：cos(α-β)=?〖第一组数据〗发现:cos（α-β）公式的结构形式应该与sinα,cosα,sinβ,cosβ均有关系.则sin)2cos()cos(,2令则令,则cos)cos()cos(令令,2,则sin)2cos()cos(cos)cos()cos(sin60°sin120°cos60°cos120°cos(120°－60°)sin30°sin60°cos30°cos60°cos(60－30°)323232321212123212〖第二组数据〗12从表中,可以发现:cos(60°－30°)=cos60°cos30°+sin60°sin30°cos(120°－60°)=cos120°cos60°+sin120°sin60°现在，我们猜想，对任意角α，β有：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ问题3:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ如何推导?思考？想一想要获得相应的表达式需要哪些已学过的知识？25/1/1227于是:OA=(cosα,sinα),②怎样用向量数量积的运算和定义得到结果？OB=(cosβ,sinβ)①结合图形，思考应选用哪几个向量？探究过程（应用平面向量的知识）如右图，在平面直角坐标系xoy内作单位圆，以ox为始边作角α、β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B.yOxABαβOA·OB=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβyOxBAαβ25/1/1228现在设OA与OB的夹角为，则OA·OB=|OA|·|OB|cos=cos=cosαcosβ+sinαsinβ.因为角α、β是任意角，由右图(1)可知,α=2k+β+;由右图(2)可知,α=2k+β-.于是α-β=2k±，k∈Z.所以cos=cos(α-β）也有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβyOxABαβyOxBAαβ25/1/1229cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ观察：公式有何特征？如何记忆？公式左边是差角α－β的余弦,右边单角α、β的余弦积与正弦积的和,且符号不同.cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ谐音记忆为:烤烤晒晒符号反对于任意角α，β都有称为差角的余弦公式。简记为C(α-β)定义：25/1/1230应用一分析：怎样把15°表示成两个特殊角的差？例1.利用差角余弦公式求cos15°的值.解法2：coscoscoscos45sin60sin451232222262.415（60-45）=60变式1:求sin75°的值.思考:你还会求哪些非特殊角的余弦呢?cos105°、cos(-15°)、cos165°……的值。25/1/1231应用二公式的逆用cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)变式2：(1).求求cos27cos12+sin27sin12°°°°的值.(2).求cos(x+15)cosx+sin(x+15)sinx的值.°°426(3).求的值.15sin2315cos21°°2242625/1/1232应用三解:由sinα＝,α∈(,),得542分析:由Cα-β和本题的条件，要计算cos(α-β),还应求什么？53541sin1cos22又由cosβ=，β是第三象限的角，得135-13121351cos1sin22所以cos(α-β)＝cosβcosα+sinβsinα653313125413553已知sinα＝,α(,∈),cosβ=-,β是第三象限角，求cos(α-β)的值。542135例2.25/1/1233已知sinα＝,α(,∈),cosβ=-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值。542135例2：变式:如果去掉条件对结果和求解过程会有什么影响？),2(强调：要求正确使用分类讨论的思想方法，在表述上也有了更高的要求.思考？25/1/1234小结cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ差角的余弦公式,简记为C(α-β)1.这节课我学到了什么知识？2.在公式应用过程中应该注意什么问题？3.学习与应用过程中，你有什么体会？作业:P127第2.3题25/1/1235拓展题：1.已知cosα=，cos(α－β）=，0<β<α<,求cosβ的值。31542()25/1/1237你能利用cos(α－β)的公式继续探究α±β的其它三角函数公式吗？如?=)sin(?=)cos(?......)tan(课后思考题？25/1/1238