第22讲全等三角形1.(2014，河北)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求∠ACE的度数；(3)求证：四边形ABFE是菱形．第1题图【思路分析】(1)根据旋转的性质得出∠BAD＝∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等．(2)根据AC＝AE，得出∠ACE＝∠AEC，即可求得．(3)根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证．(1)证明： △ADE是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到的，∴∠BAD＝∠CAE＝100°. AB＝AC，∴AB＝AC＝AD＝AE.在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．(2)解： ∠CAE＝100°，AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC＝12(180°－∠CAE)＝40°.(3)证明： ∠BAD＝∠CAE＝100°，AB＝AC＝AD＝AE，∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°. ∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝140°，∴∠BFE＝360°－∠BAE－∠ABD－∠AEC＝140°.∴∠BAE＝∠BFE.∴四边形ABFE是平行四边形． AB＝AE，∴四边形ABFE是菱形．2.(2016，河北)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．第2题图【思路分析】(1)由BF＝EC，得BC＝EF，根据“SSS”证得全等．(2)由全等三角形的对应角相等得∠ABC＝∠DEF，∠ACF＝∠DFE，根据“内错角相等，两直线平行”得平行线段．(1)证明： BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF. AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF.(2)解：AB∥DE，AC∥DF.理由：由(1)知△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACF＝∠DFE.∴AB∥DE，AC∥DF.3.(2018，河北)如图，点P在线段AB外，且PA＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是(B)第3题图A.作∠APB的平分线PC交AB于点CB.过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BCC.取AB的中点C，连接PCD.过点P作PC⊥AB，垂足为C【解析】A.利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°.∴点P在线段AB的垂直平分线上．符合题意．B.过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意．C.利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°.∴点P在线段AB的垂直平分线上．符合题意．D.利用HL判断出Rt△PCA≌Rt△PCB，∴CA＝CB.∴点P在线段AB的垂直平分线上．符合题意．全等三角形的性质与判定例1如图，从下列四个条件①BC＝B′C，②AC＝A′C，③∠A′CA＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则可以构成正确结论的最多有(B)例1题图A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】当①②③为条件，④为结论时， ∠A′CA＝∠B′CB，∴∠A′CB′＝∠ACB. BC＝B′C，AC＝A′C，∴△A′CB′≌△ACB.∴AB＝A′B′.当①②④为条件，③为结论时， BC＝B′C，AC＝A′C，AB＝A′B′，∴△ACB≌△A′CB′.∴∠A′CB′＝∠ACB.∴∠A′CA＝∠B′CB.针对训练1(2018，唐山路南区模拟)下列结论错误的是(B)A.全等三角形对应边上的中线相等B.两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等C.全等三角形对应边上的高相等D.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等【解析】A.如答图①. △ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF. AM是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，∴BC＝2BM，EF＝2EN.∴BM＝EN.在△ABM和△DEN中，AB＝DE，∠B＝∠E，BM＝EN，∴△ABM≌△DEN(SAS)．∴AM＝DN.故本选项正确．B.如教师用的含30°角的三角板和学生用的含30°角的三角板就不全等，故本选项错误．C.如答图②. △A′B′C′≌△D′E′F′，∴A′B′＝D′E′，∠B′＝∠E′. A′M′是△A′B′C′的高，D′N′是△D′E′F′的高，∴∠A′M′B′＝∠D′N′E′＝90°.在△A′B′M′和△D′E′N′中，∠B′＝∠E′，∠A′M′B′＝∠D′N′E′，A′B′＝D′E′，∴△A′B′M′≌△D′E′N′.∴A′M′＝D′N′.故本选项正确．D.根据AAS可推出两个直角三角形全等．故本选项正确．训练1答图图形...
