压轴小题突破练(1)1．已知M是函数f(x)＝e－2|x－1|＋2sinπx－12在x∈[－3，5]上的所有零点之和，则M的值为()A．4B．6C．8D．10答案C解析因为f(x)＝e－2|x－1|＋2sinπx－12＝e－2|x－1|－2cosπx，所以f(x)＝f(2－x)，因为f(1)≠0，所以函数零点有偶数个，两两关于x＝1对称．当x∈[1,5]时，y＝e－2(x－1)∈(0,1]，且单调递减；y＝2cosπx∈[－2,2]，且在[1,5]上有两个周期，因此当x∈[1,5]时，y＝e－2(x－1)与y＝2cosπx有4个不同的交点，从而所有零点之和为4×2＝8，故选C.2．设函数f(x)＝1－x＋1，g(x)＝ln(ax2－3x＋1)，若对任意的x1∈[0，＋∞)，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的最大值为()A．2B.94C．4D.92答案B解析设g(x)＝ln(ax2－3x＋1)的值域为A，因为f(x)＝1－x＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]?A，所以h(x)＝ax2－3x＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h(0)＝1，所以实数a需要满足a≤0或a＞0，Δ＝9－4a≥0，解得a≤94.所以实数a的最大值为94，故选B.3．已知函数f(x)＝x2＋ex(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，e)B.－∞，1eC.－1e，eD.－e，1e答案A解析由已知得，方程f(x)＝g(－x)在x<0时有解，即ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，0)上有解，令m(x)＝ex－ln(－x＋a)，x<0，则m(x)＝ex－ln(－x＋a)在其定义域上是增函数，且x→－∞时，m(x)<0，当a≤0，x→a时，m(x)>0，故ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，a)上有解，符合要求．当a>0时，则ex－ln(－x＋a)＝0在(－∞，0)上有解可化为e0－lna>0，即lna<1，故0
0，函数f(x)＝ex－1＋a2，x＜0，ex－1＋a2x2－()a＋1x＋a2，x≥0，若关于x的方程f(－f(x))＝e－a＋a2有三个不等的实根，则实数a的取值范围是()A.1，2＋2eB.2，2＋2eC.1，1＋1eD.2，2＋1e答案B解析当x＜0时，f(x)为增函数，当x≥0时，f′(x)＝ex－1＋ax－a－1,f′(x)为增函数，令f′(x)＝0，解得x＝1，故函数f(x)在()0，1上单调递减，在()1，＋∞上单调递增，最小值为f()1＝0.由此画出函数f(x)的图象如图所示．令t＝－f(x)，因为f(x)≥0，所以t≤0，则有f()t＝e－a＋a2，f()t＝et－1＋a2，解得－a＝t－1，所以t＝－a＋1，所以f(x)＝a－1.所以方程要有三个不同的实数根，则需a2＜a－1＜1e＋a2，解得2＜a＜2e＋2.5．已知函数f(x)＝14x2＋12x＋a(x＜0)，g(x)＝lnx(x>0)，其中a∈R.若f(x)的图象在点A(x1，f(x1))处的切线与g(x)的图象在点B(x2，f(x2))处的切线重合，则a的取值范围为()A．(－1＋ln2，＋∞)B．(－1－ln2，＋∞)C.－34，＋∞D．(ln2－ln3，＋∞)答案A解析f(x)的图象在点A(x1，f(x1))处的切线方程为y－14x21＋12x1＋a＝12x1＋12·(x－x1)，即y＝12x1＋12x－14x21＋a.g(x)的图象在点B(x2，g(x2))处的切线方程为y－lnx2＝1x2·(x－x2)，即y＝1x2·x＋lnx2－1.两切线重合的充要条件是1x2＝12x1＋12，①lnx2－1＝－14x21＋a，②由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0,由①②得a＝14x21＋lnx2－1＝14x21＋ln2x1＋1－1＝14x21＋ln2－ln(x1＋1)－1,设h(t)＝14t2＋ln2－ln(t＋1)－1(－1＜t＜0)，则h′(t)＝12t－1t＋1＝tt＋1－22t＋1＜0，所以h(t)(－1＜t＜0)为减函数，则h(t)＞h(0)＝－1＋ln2，所以a＞－1＋ln2，而当t∈(－1,0)且t趋向于－1时，h(t)无限增大，所以a的取值范围是(－1＋ln2，＋∞)．6．若方程|x2－1|x－1＝kx－2恰有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A．(－2，－1)∪(0,4)B.0，34∪34，4C.13，1∪(1,4)D．(0,1)∪(1,4)答案D解析方法一代数求解：方程可化为x2>1，x＋1＝kx－2或x2<1，－x－1＝kx－2或x＝－1，k＝－2，经检验知，当k＝±1或k＝－2时，方程均有一个实根，不满足条件，故k≠±1，且k≠－2，所以要使方程|x2－1|x－1＝kx－2恰有两个不同的实根，只需3k－12>1，1k＋12<1，解得k∈(0,1)∪(1,4)．方法二几何求解：求方程|x2－1|x－1＝kx－2恰有两个不同的实根时实数k的取值范围，即求函数y＝|x2－1|x－1的图象与直线y＝kx－2有两个不同的交点时k的取值范围，作出图象如图所示，由图知k∈(0,1)∪(1,4)．7．已知定义在...
