2.立体几何1．如图，已知正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，点M在线段ED上，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝12CD＝1.(1)当M为线段ED的中点时，求证：AM∥平面BEC；(2)求直线DE与平面BEC所成角的正弦值．(1)证明取EC的中点N，连接MN，BN，如图．在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，所以MN∥CD，且MN＝12CD.又AB∥CD，AB＝12CD，所以MN∥AB，且MN＝AB.由此可知四边形ABNM为平行四边形，所以BN∥AM，又BN?平面BEC，且AM?平面BEC，所以AM∥平面BEC.(2)解在正方形ADEF中，ED⊥AD，因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，所以ED⊥平面ABCD，而BC?平面ABCD，所以ED⊥BC.在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，易得BC＝2，连接BD，在△BCD中，BD＝BC＝2，CD＝2，所以BD2＋BC2＝CD2，所以BC⊥BD，又BD∩ED＝D，BD，ED?平面BDE，所以BC⊥平面BDE，而BC?平面BCE，所以平面BDE⊥平面BCE.过点D作DH⊥EB，交EB于点H，则DH⊥平面BCE，所以∠DEH为直线DE与平面BEC所成的角．在Rt△BDE中，BE＝BD2＋DE2＝3，S△BDE＝12BD·DE＝12BE·DH，所以DH＝BD·DEBE＝2×13＝63，所以sin∠DEH＝DHDE＝63.所以直线DE与平面BEC所成角的正弦值为63.2．如图，在所有棱长均相等的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是棱AA1，CC1，AB的中点．(1)证明：BE∥平面CDF；(2)求直线EF与平面CDF所成角的正弦值．(1)证明方法一连接AE交CD于G，连接GF，如图1.因为D，E分别是棱AA1，CC1的中点，所以G是AE的中点．在△ABE中，GF是中位线，所以GF∥BE.又GF?平面CDF，BE?平面CDF.所以BE∥平面CDF.图1图2方法二连接A1B，A1E，如图2.在△A1AB中，DF是中位线，所以DF∥A1B.又A1B?平面CDF，DF?平面CDF，所以A1B∥平面CDF.因为D，E分别是棱AA1，CC1的中点，所以A1D∥CE，且A1D＝CE，所以四边形A1ECD是平行四边形，故A1E∥CD.又A1E?平面CDF，CD?平面CDF，所以A1E∥平面CDF.又A1B∩A1E＝A1，所以平面A1BE∥平面CDF，又BE?平面A1BE，所以BE∥平面CDF.(2)解方法一如图2，连接AB1，因为四边形AA1B1B是正方形，所以A1B⊥AB1.又DF∥A1B，所以AB1⊥DF.因为△ABC是正三角形，F是AB的中点，所以CF⊥AB.又平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，CF?平面ABC，所以CF⊥平面AA1B1B.而AB1?平面AA1B1B，所以CF⊥AB1，又DF∩CF＝F，且DF，CF?平面CDF，所以AB1⊥平面CDF.取BB1的中点H，连接HF，HE，则HF∥AB1，HF⊥平面CDF.所以∠EFH是直线EF与平面CDF所成角的余角．设直三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，则在△EFH中，FH＝2，EH＝EF＝2.所以cos∠EFH＝222＝24.故直线EF与平面CDF所成角的正弦值为24.方法二以点F为坐标原点，BF，CF所在直线分别为x轴，y轴建立如图3所示的空间直角坐标系．设直三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，则F(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，D(－1,0,1)，E(0，3，1)．图3所以FC→＝(0，3，0)，FD→＝(－1,0,1)．设平面CDF的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥FC→，n⊥FD→，所以3y＝0，－x＋z＝0，则n＝(1,0,1)为平面CDF的一个法向量，又FE→＝(0，3，1)．所以cos〈FE→，n〉＝FE→·n|FE→|·|n|＝122＝24.故直线EF与平面CDF所成角的正弦值为24.3．如图，在四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2，连接AO.(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求直线AB与平面ACD所成角的余弦值．(1)证明如图，连接OC，因为AB＝AD，O是线段BD的中点，所以AO⊥BD，同理可得CO⊥BD.又在△ABD中，AB＝AD＝2，BD＝2，所以AO＝1，在△BCD中，CB＝CD＝BD＝2，所以CO＝3，又AC＝2，所以AO2＋OC2＝AC2，所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC.又OC∩BD＝O，OC，BD?平面BCD，所以AO⊥平面BCD.(2)解方法一如图，过点B作BM⊥平面ACD于点M，连接AM，则∠BAM为直线AB与平面ACD所成的角，由VA－BCD＝VB－ACD，可得13×AO×S△BCD＝13×BM×S△ACD，因为AO＝1，S△BCD＝12×2×3＝3，S△ACD＝12×2×22－222＝72，所以BM＝2217.在Rt△AMB中，AM＝AB2－BM2＝147.所以cos∠BAM＝AMAB＝77.所以直线AB与平面ACD所成角的余弦值为77.方法二以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，3，0)...
