1第37练平面向量小题综合练[基础保分练]1.(2019·温州模拟)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知α是锐角，a＝34，sinα，b＝cosα，13，且a∥b，则α为()A.15°B.30°C.30°或60°D.15°或75°3.已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)，若(a－2b)⊥c，则k等于()A.23B.2C.－3D.14.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE→＝2EO→，则ED→等于()A.13AD→－23AB→B.23AD→＋13AB→C.23AD→－13AB→D.13AD→＋23AB→5.已知非零向量a，b，满足|a|＝22|b|，且(a＋b)·(3a－2b)＝0，则a与b的夹角为()A.π4B.π2C.3π4D.π6.(2019·湖州模拟)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－12，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为()A.1B.12C.34D.327.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心8.(2019·台州模拟)已知m，n是两个非零向量，且|m|＝1，|m＋2n|＝3，则|m＋n|＋|n|的最大值为()A.5B.10C.4D.529.(2019·嘉兴期末)Rt△ABC中，AB＝AC＝2，D为AB边上的点，且ADDB＝2，则CD→·CA→＝__________；若CD→＝xCA→＋yCB→，则xy＝________.10.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若OC→＝mOA→＋2mOB→，AP→＝λAB→，则λ＝____________.[能力提升练]1.如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则AO→·BC→等于()A.32B.3C.2D.522.在△ABC中，E为AC上一点，AC→＝3AE→，P为BE上任一点，若AP→＝mAB→＋nAC→(m>0，n>0)，则3m＋1n的最小值是()A.9B.10C.11D.123.设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于()A.1B.2C.3D.24.在平面内，定点A，B，C，O满足|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→＝－2，动点P，Q满足|AP→|＝1，PQ→＝QC→，则4BQ→2－37的最大值是()A.12B.6C.63D.2335.(2019·丽水模拟)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E3和点F分别在线段BC和DC上，BE→＝λBC→，DF→＝19λDC→，则AE→·AF→的最小值为________.6.(2019·学军中学模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝3，|b|＝|c|＝5,0<λ<1，若b·c＝0，则|a－b＋λ(b－c)|＋35c＋1－λb－c的最小值为________.答案精析基础保分练1.D2.C3.C4.C5.A6.D7.D8.B9.42910.λ＝23能力提升练1.D[取BC的中点为D，连接OD，AD，则OD⊥BC，又AO→·BC→＝(AD→＋DO→)·BC→＝AD→·BC→＋DO→·BC→＝AD→·BC→＝12(AB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝12(AC→2－AB→2)＝52，故选D.]2.D[由题意可知AP→＝mAB→＋nAC→＝mAB→＋3nAE→，A，B，E三点共线，则m＋3n＝1，据此有3m＋1n＝3m＋1n(m＋3n)＝6＋9nm＋mn≥6＋29nm×mn＝12，当且仅当m＝12，n＝16时等号成立.综上可得3m＋1n的最小值是12，故选D.]3.D[设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c,因为a·b＝－12，〈a－c，b－c〉＝60°，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，①当O为△ABC外接圆圆心时，|c|＝|a|＝|b|＝1，②当O，A，B，C四点共圆时，因为AB→＝b－a，|AB→|2＝(b4－a)2＝b2＋a2－2a·b＝3，所以AB→＝3，由正弦定理知2R＝ABsin120°＝2，即过O，A，B，C四点的圆的直径为2，所以|c|的最大值等于直径2，故选D.]4.A[由题意得OA→·OB→－OB→·OC→＝0，∴OB→·CA→＝0，∴OB→⊥CA→，同理OC→⊥AB→，OA→⊥BC→，∴O是△ABC的垂心，又|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，∴O为△ABC的外心，因此，△ABC的中心为O，且△ABC为正三角形，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝120°，以O为原点，建立如图所示平面直角坐标系，易得|OA→||OB→|cos120°＝－2，∴|OA→＝|OB→|＝2，∴B(－3，－1)，C(3，－1)，A(0,2)，设P(x，y)， |AP→|＝1，∴x＝cosθ，y＝2＋sinθ，0≤θ<2π， PQ→＝QC→，∴Q为PC的中点，∴Q3＋cosθ2，1＋sinθ2，∴|BQ→|2＝33＋cosθ22＋3＋sinθ22，∴4|BQ→|2＝(33＋cosθ)2＋(3＋sinθ)2＝37＋12sinθ＋π3...
