(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A．①③B．②③C．①④D．②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.答案：D2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：∵f(x)是奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，∴f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0.答案：B3．若奇函数f(x)＝3sinx＋c的定义域是[a，b]，则a＋b－c等于()A．3B．－3C．0D．无法计算解析：由于函数f(x)是奇函数，且定义域为[a，b]，所以a＋b＝0，又因为f(0)＝0，得c＝0，于是a＋b－c＝0.答案：C4.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A．y＝x2＋1B．y＝|x|＋1C．y＝D．y＝解析：利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．又y＝x2＋1在(－2,0)上为减函数；y＝|x|＋1在(－2,0)上为减函数；y＝在(－2,0)上为增函数，y＝在(－2,0)上为减函数，故选C.答案：C5．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f＞0＞f(－)，则方程f(x)＝0的根的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：因为在(0，＋∞)上函数递减，且f·f(－)＜0，又f(x)是偶函数，所以f·f()＜0，因f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，又因为f(x)是偶函数，则它在(－∞，0)上也有唯一的零点，故方程f(x)＝0的根有2个．答案：C6．已知函数f(x)为(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(2009)＋f(2010)的值为()A．－2B．－1C．0D．1解析：由f(x)为奇函数得f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)．又f(x)关于x＝1对称，有f(－x)＝f(x＋2)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4.又f(1)＝21－1＝1，f(0)＝20－1＝0，所以f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝1，故选D.答案：D二、填空题7．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝______.解析：令x<0，∴－x>0，g(－x)＝－2x－3，∴g(x)＝2x＋3，∴f(x)＝2x＋3.答案：2x＋38．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于________．解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.答案：－29．已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠1}，f(x＋1)为奇函数，当x＜1时，f(x)＝2x2－x＋1，则当x＞1时，f(x)的递减区间是________．解析：由f(x＋1)为奇函数得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(x)＝－f(2－x)．设x＞1，则2－x＜1，f(2－x)＝2(2－x)2－(2－x)＋1＝2x2－7x＋7，∴f(x)＝－2x2＋7x－7.故当x＞1时，f(x)的递减区间为.答案：三、解答题10．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x)，函数是偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f(x)＝x2＋.任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1＋x2)(x1－x2)＋＝(x1－x2)由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞，所以f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．11．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)的区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.解析：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．12．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.解析：(1)依题意得即⇒.∴f(x)＝.(2)证明：任取－1＜x1＜x2＜1，f(x1)－f(x2)＝－＝∵－1＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,1＋x＞0,1＋x＞0.又－1＜x1x2＜1，∴1－x1x2＞0∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．(3)f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－1＜t－1＜－t＜1，解得0＜t＜.
