第8讲盈亏问题盈亏问题又叫盈不足问题，是指把固定数量的物品平均分给固定的对象，因为两种不同的分配标准，导致两种不同的分配结果：一种标准分配后有剩余（盈）；另一种标准分配后不够分（亏或不足）。此类问题，要求通过两种分配结果的比较，求出物品总数量和固定对象的个数。标准的盈亏问题就是两次分配的结果一盈一亏，所以就叫盈亏问题。基本的数量关系是：（盈+亏）三两种分配标准的数量之差=固定对象数量。广义的盈亏问题一般还包括以下四种情况：一、两次分配都有余（两盈）；二、两次分配都不够分（两亏）；三、一次有余，一次刚好够分（盈适足）；四、一次分配不够分，一次刚好够分（亏适足）。解决盈亏问题常用比较的解题策略：通过两次分配盈亏总额与分配数量的比较，先求出固定对象的个数，再求出分配物品的总数量。此类问题基本数量关系有：①盈适足问题：盈余部分三两种分配标准的数量之差=固定对象数量。②亏适足问题：亏欠部分三两种分配标准的数量之差=固定对象数量。③两盈问题：（盈多一盈少）三两种分配标准的数量之差=固定对象数量。④两亏问题：（亏多一亏少）三两种分配标准的数量之差=固定对象数量。⑤盈亏问题：（盈+亏）三两种分配标准的数量之差=固定对象数量。比较常规的盈亏问题，一般可以直接套用上面的数量关系，解决问题。较复杂的盈亏问题，一般需要先对题中的条件进行适当的转化，将相关问题先转化成典型的盈亏问题，再求解。【例1】“雏鹰小队”的同学们参加植树活动，如果每人栽5棵树，还剩12棵树；如果每人栽7棵，就缺4棵。问这个小队有多少人一共要栽多少棵树解析】：可以画出线段图帮助理解题意，如下图：观察上图，比较每人栽7棵与每人栽5棵的两种情况，雏鹰小队总人数是不变的。雏鹰小队栽树总棵数多出：12＋4=16（棵）；而每个人多栽：7－5=2（棵）；所以小队人数为：（12+4）三（7—5）=8（人）。由小队人数和任意一种栽法，可以求出栽树总棵数：5X8+12=52（棵）或7X8—4=52（棵）。【例2】学生春游，租了几条船让学生们划，每条船坐3人，则空2人的位置；如果每条船坐5人，则空出16人的位置，问有学生多少人共租了多少条船【解析】：这是两亏问题，每条船坐3人，空2个位置即少2人，每条船坐5人空16个位置少16人，每条船坐5人比每条船坐3人多空出了14个位置，即每条船坐5人比每条船做3人，可以多坐14人。比较两种坐船方案，租船总条数是不变的。可乘坐总人数相差：16—2=14（人）；每条船乘坐人数相差：5—3=2（人）；所以共租船：14三2=7（条）。根据船的条数和任意一种租船方案，可以求出学生人数，如：7X3—2=19（人）。注：如果解题时，该题需要把题中的一种分配方案进行转化才能化为盈亏问题求解，通常在求题中的第二个未知数时，按另一种分配方案求解比较方便。【例3】：解放军某部调动一批战士分乘一批车辆赶往汛地抗洪。原计划每辆汽车乘32人，则多出5人，他们被安排乘坐在其中的某辆车上，行进中由于紧急任务调走一辆车，这时只好重新安排每辆车乘35人，这样多出7人，他们被安排在其中的某辆车上，问原来共有多少辆车共派出多少名战士【解析】：在重新安排时，每辆车35人，少了一辆车，多出7人。如果补上这辆车，可以坐上这7个人，还可以再坐：35—7=28（人）。所以这个条件可以转化为：仍然是原来的车辆数，每辆车35人，少了28人。转化条件后，比较两种安排乘坐情况，车辆数是不变的。乘坐总人数相差：5＋28=33（人）；每辆车乘坐人数相差：35－32=3（人）；所以原来车辆数为：33三3=11（辆）。再根据原计划乘坐情况，可以求出战士人数为：11X32+5=357（人）。【例4】：少先队员栽植一批树苗，如果每个队员栽6棵，还剩12棵；如果其中9个小队员每人栽4棵，而其余队员栽8棵，结果缺2棵。问这批树苗有多少棵参加植树的少先队员有多少人【解析】：第二种方案中有9个小队员每人栽4棵树苗，假定这9个小队员每人也栽8棵，则需要再添树苗：9X（8－4）=36（棵）。因此题中条件“如果其中9个小队员每人栽4棵，而其余队员栽8棵，结果缺2棵。”可以转化为：如果所有队员每人栽8棵，就缺少树苗：36+2=38（棵）。从而把原题转化为盈亏问题...
