1、【截长补短】如图，∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分线，求证：BC=BE+CD．【分析】在BC上找到F使得BF=BE，易证∠BOE=∠COD=60°，即可证明△BOE≌△BOF，可得∠BOF=∠BOE=60°，即可证明△OCF≌△OCD，可得CF=CD，根据BC=BF+CF即可解题．【解答】证明：在BC上找到F使得BF=BE， ∠A=60°，BD、CE是△ABC的角平分线，∴∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，在△BOE和△BOF中，，∴△BOE≌△BOF，（SAS）∴∠BOF=∠BOE=60°，∴∠COF=∠BOC﹣∠BOF=60°，在△OCF和△OCD中，，∴△OCF≌△OCD（ASA），∴CF=CD， BC=BF+CF，∴BC=BE+CD．2、【加倍中线】如图，△ABC中，D为BC的中点．（1）求证：AB+AC＞2AD；（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．【分析】（1）再延长AD至E，使DE=AD，构造△ADC≌△EDB，再根据三角形的三边关系可得AB+AC＞2AD；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53﹣＜2AD＜5+3，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD=CD，再延长AD至E，使DE=AD， D为BC的中点，∴DB=CD，在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE=AC，在△ABE中， AB+BE＞AE，∴AB+AC＞2AD；（2） AB=5，AC=3，∴53﹣＜2AD＜5+3，∴1＜AD＜4．3、【关系指的是数量关系与位置关系】如图所示，在△ABC中，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．试判断EC与BF的关系，并说明理由．【分析】先由条件可以得出∠EAC=∠BAE，再证明△EAC≌△BAF就可以得出结论．【解答】解：EC=BF，EC⊥BF．理由： AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB=∠CAF=90°，∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠BAC，∴∠EAC=∠BAE．在△EAC和△BAF中，，∴△EAC≌△BAF（SAS），∴EC=BF．∠AEC=∠ABF ∠AEG+∠AGE=90°，∠AGE=∠BGM，∴∠ABF+∠BGM=90°，∴∠EMB=90°，∴EC⊥BF．4、已知，如图一，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE．求证：（1）DE=BD+CE．（2）如图二，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，我们能猜想得到什么结论？（请直接写出结论）【分析】（1）只要证明△ACE≌△BAD（AAS），得到BD=AE，CE=AD，即可推出DE=AE+AD=BD+CE．（2）在图2的情况下：DE=CEBD﹣．证明方法类似．【解答】解：（1）在图1的情况下：DE=BD+CE证明： ∠DAB+∠EAC=90，∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EAC=∠DBA，在△ADB和△CEA中，，∴△ACE≌△BAD（AAS），∴BD=AE，CE=AD，∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）在图2的情况下：DE=CEBD﹣．理由：： ∠DAB+∠EAC=90，∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EAC=∠DBA，在△ADB和△CEA中，，∴△ACE≌△BAD（AAS），∴BD=AE，CE=AD，∴DE=ADAE=CEBD﹣﹣．5、【同角的余角相等】如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．（1）求证：BD=BC；（2）若BD=6cm，求AC的长．【分析】（1）欲证明BD=BC，只要证明△ABC≌△EDB即可．（2）由E是BC中点，BD=6cm，BD=BC，推出BE=BC=BD=3cm，由△ABC≌△EDB，得到AC=BE，即可解决问题．【解答】（1）证明： DE⊥AB，∴∠BFE=90°，∴∠ABC+∠DEB=90°， ∠ACB=90°，∴∠ABC+∠A=90°，∴∠A=∠DEB，在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB，∴BD=BC．（2）解： E是BC中点，BD=6cm，BD=BC，∴BE=BC=BD=3cm， △ABC≌△EDB，∴AC=BE=3cm．6、【同角的余角相等】已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上，且BD=AC，过点D作DE⊥AB于点E，过点B作CB的垂线，交DE的延长线于点F．求证：AB=DF．【分析】根据余角的性质得到∠A=∠BDE，根据全等三角形的判定定理得到△ABC≌△BDF，由全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明： ∠ACB=∠FBD=∠90°， DE⊥AB，∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠BDE=90°，∴∠A=∠BDE．在△ABC与△BDF中，，∴△ABC≌△BDF，∴AB=DF．7、【动点问题】如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，...
