专题三三角函数与平面向量的综合应用1．三角恒等变换(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式．(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系．(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围．2．三角函数的性质(1)研究三角函数的性质，一般要化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数．(2)在讨论y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t＝ωx＋φ，y＝Asint，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的．3．解三角形解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现．4．平面向量平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性．1．已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________．答案－解析＝＝tanα.根据三角函数的定义得tanα＝＝－.所以＝－.2．已知f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)的一条对称轴为y轴，且θ∈(0，π)，则θ＝________.答案解析f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)＝2sin，由θ＋＝kπ＋(k∈Z)及θ∈(0，π)，可得θ＝.3.如图所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|∈)图象的一部分，则f(x)的解析式为____________．答案f(x)＝2sin＋1解析由于最大值和最小值之差等于4，故A＝2，B＝1.由于2＝2sinφ＋1，且|φ|∈，得φ＝.由图象知ω(－π)＋φ＝2kπ－(k∈Z)，得ω＝－2k＋(k∈Z)．又>2π，1∴0<ω<1.∴ω＝.∴函数f(x)的解析式是f(x)＝2sin＋1.4．(2012·四川改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝________.答案解析方法一应用两角差的正弦公式求解．由题意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45°，在Rt△BCE中，BE＝2，BC＝1，∴CE＝，则sin∠CEB＝，cos∠CEB＝.而∠CED＝45°－∠CEB，∴sin∠CED＝sin(45°－∠CEB)＝(cos∠CEB－sin∠CEB)＝×＝.方法二利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解．由题意得ED＝，EC＝＝.在△EDC中，由余弦定理得cos∠CED＝＝，又0<∠CED<π，∴sin∠CED＝＝＝.5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，AB＝3，P是BC上的一个动点，当PD·PA取得最小值时，tan∠DPA的值为________．答案解析如图，以A为原点，建立平面直角坐标系xAy，则A(0,0)，B(3，0)，C(3,2)，D(0,1)，设∠CPD＝α，∠BPA＝β，P(3，y)(0≤y≤2)．∴PD＝(－3,1－y)，PA＝(－3，－y)，∴PD·PA＝y2－y＋9＝2＋，∴当y＝时，PD·PA取得最小值，此时P，易知|DP|＝|AP|，α＝β.在△ABP中，tanβ＝＝6，tan∠DPA＝－tan(α＋β)＝＝.题型一三角恒等变换例1设<α<，sin＝，求的值．思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系．解方法一由<α<，得<α－<，又sin＝，所以cos＝.所以cosα＝cos[(α－)＋]2＝coscos－sinsin＝，所以sinα＝.故原式＝＝cosα(1＋2sinα)＝.方法二由sin＝，得sinα－cosα＝，两边平方，得1－2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝>0.由于<α<，故<α<.因为(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，故sinα＋cosα＝，解得sinα＝，cosα＝.下同方法一．探究提高三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，角的转化是三角变换的“灵魂”．要注意角的范围对式子变形的影响．已知cos＋sinα＝，则sin的值是()A．－B.C．－D.答案C解析cos＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sin＝，所以sin＝－sin＝－.题型二三角函数的图象与性质例2(2011·浙江)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)，x∈R，A>0,0<φ<，y＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝，求A的值．思维启迪：三角函数图象的确定，可...
