2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程1.理解圆的定义及圆的标准方程的形式，会求圆的标准方程．2．理解点与圆的位置关系，并会判断点与圆的位置关系．3．掌握求曲线方程的一般步骤．学习目标学习目标课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案2.3.1课前自主学案温故夯基温故夯基1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于_______的点的轨迹．2．确定一个圆的条件：(1)圆心；(2)半径．定长知新益能知新益能1．圆的标准方程(1)圆的定义：__________________________的点的集合(轨迹)是圆，定点就是圆心，定长就是半径．(2)圆的标准方程的形式：____________________.(3)求圆的方程的步骤：建系、设点、列式、化简、证明．平面内到定点距离等于定长(x－a)2＋(y－b)2＝r2＝＞＜2．点和圆的位置关系点和圆的位置关系有3种，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)：(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2________r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2_______r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2______r2.思考感悟圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2的圆心是(a，b)，半径是m对吗？提示：不对．圆心为(－a，－b)，半径为|m|.课堂互动讲练求圆的标准方程考点突破考点突破根据几何条件，建立a、b、r的方程组，求解a、b、r.例例11已知圆过原点O和点P(1,3)，圆心在直线y＝x＋2上．求此圆的标准方程．【分析】本题可通过代数方法：构造方程确定a，b，r，也可以充分利用几何条件，确定a，b，r，即采用几何法求解．【解】法一： 圆心在直线y＝x＋2上，∴设圆心坐标为(a，a＋2)，则圆的方程为(x－a)2＋(y－a－2)2＝r2. 点O(0,0)和P(1,3)在圆上，∴0－a2＋0－a－22＝r21－a2＋3－a－22＝r2，解得a＝－14r2＝258，∴所求的圆的方程为(x＋14)2＋(y－74)2＝258.法二：由题意：圆的弦OP所在直线的斜率为3，中点坐标为(12，32)，∴弦OP的垂直平分线方程为y－32＝－13(x－12)，即x＋3y－5＝0. 圆心在直线y＝x＋2上，且圆心在弦OP的垂直平分线上，∴由y＝x＋2x＋3y－5＝0解得x＝－14y＝74，即圆心坐标为C(－14，74)．又 圆的半径r＝|OC|＝－142＋742＝258，∴所求的圆的方程为(x＋14)2＋(y－74)2＝258.【点评】求圆的标准方程的方法一般有两种：(1)待定系数法(代数法)，待定系数法体现了方程的思想，利用代数的运算来求解a、b、r.具体步骤为：首先设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，再根据题设条件列出关于a、b、r的方程(组)，然后解方程(组)求得a、b、r的值，即可确定圆的标准方程．(2)几何法，即利用圆的几何性质(弦的性质，切线的性质)来直接求得圆心坐标及半径．几何法体现了数形结合的思想，思路简洁明了，具有一定的技巧性．跟踪训练1已知圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且这个圆经过点A(6,1)，求该圆的标准方程．解：因圆与y轴相切，则可设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2，又圆心在直线x－3y＝0上，∴a＝3b.又点A(6,1)在圆上，∴(3b－6)2＋(b－1)2＝9b2，解得b＝1或b＝37，∴a＝3或a＝111.因此圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112.点与圆的位置关系点与圆的位置关系是由点到圆心的距离与半径的比较而得出的．例例22已知圆心C(5,6)，且过点A(4,9)的圆，试判断点M(6,9)，N(3,3)，O(5,3)与圆C的位置关系．【分析】由点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来确定此点与圆的位置关系，也可先求出圆的方程，从数的角度作判断．【解】法一： 圆心为C(5,6)，点A(4,9)在圆上，∴圆的半径r＝|CA|＝5－42＋6－92＝10.又|MC|＝6－52＋9－62＝10，∴点M在圆上；|NC|＝5－32＋6－32＝13>10，∴点N在圆外；|OC|＝5－52＋6－32＝9<10，∴点O在圆内．法二： 圆的半径为r＝|CA|＝5－42＋6－92＝10，∴圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.分别将M(6,9)，N(3,3)，O(5,3)代入得，(6－5)2＋(9－6)2＝10，∴点M在圆上；(3－5)2＋(3－6)2＝13>10，∴点N在圆外；(5－5)2＋(3－6)2＝9<10，∴点O在圆内．【点评】法一是从形的角度，比较圆的半径与圆心到该点的距离的大小，从而作出判断；法二是从...
