•1．空间两条直线的位置关系．•①相交直线——公共点．•②平行直线——在同一平面内，公共点．•③异面直线——公共点．2．平行公理：•3．异面直线所成角：直线a，b是异面直线，空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b，我们把叫做异面直线a和b所成的角．有且仅有一个没有不同在任何一个平面内，没有平行于同一直线的两条直线互相平行经过直线a′和b′所成的锐角(或直角)•4．异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内直线是异面直线．•5．两条异面直线互相垂直：如果两条异面直线所成的角是，我们就说这两条异面直线互相垂直．•6．两条异面直线的公垂线及两条异面直线的距离：和两条异面直线都直线，叫做两条异面直线的公垂线，的长度，叫做这两条异面直线的距离．不经过该点的垂直相交的•1．(课本习题改编)判断下列命题的真假•①若a⊥b，a⊥c，则b∥c()•②a与b是异面直线，a与c是异面直线，则b与c是异面直线()•③没有公共点的两条直线是异面直线()•④若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线()•⑤a∥b，b⊥c，则a⊥c()•答案①×②×③×④×⑤√•2．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是()•A．EF与BB1垂直•B．EF与BD垂直•C．EF与CD异面•D．EF与A1C1异面•答案D•解析如图，取BB1的中点O，连结OE，OF，易知EF与A1C1平行．•3．下列命题中正确的是()•A．E、F、G、H分别是空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是平行四边形•B．E、F、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、DA的中点，则∠HEF是异面直线AC与BD所成的角•C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且一边方向相同，另一边方向相反，则这两个角相等•D．若a、b与c所成的角相等，则a∥b•答案A•4．过正方体ABCD－A1B1C1D1的任意两个顶点的直线中，与AC成60°的异面直线有()•A．2条B．3条•C．4条D．6条•答案C•解析有：AD1、CD1、BC1、BA14条，选C.•题型一空间线线平行•例1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中E、F、M分别是棱A1A、DA、AB中点，求证：平面D1B1C∥平面EFM.•【证明】 A1D1綊BC，∴D1C∥A1B• E、M分别是A1A、AB中点•∴EM∥A1B•∴D1C∥EM•同理可证：FM∥D1B1•∴EM∥平面D1B1C，FM∥平面D1B1C•又EM⊂平面EMF，FM⊂平面EMF•且EM∩FM＝M•∴平面EMF∥平面D1B1C•探究1平行具有传递性，若证a∥b，可通过第三条直线传递即证a∥m，b∥m，从而a∥b.•题型二异面直线的判定例2如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点，问：•(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；•(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．•【解析】(1)不是异面直线．•理由：连接MN，A1C1，AC. M，N分别为A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1，•又 A1A綊D1D，•而D1D綊C1C，•∴A1A綊C1C，A1ACC1为平行四边形，•∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，•∴A，M，N，C在同一个平面内，•故AM和CN不是异面直线．•(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，∴BC⊂平面CC1D1，这与BC是正方体的棱相矛盾，•∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．•探究2异面直线的判定常有两种方法，一是反证法，二是利用判定定理．•思考题1六棱锥P－ABCDEF的12条棱所在直线中共有________对异面直线•【答案】24对•题型三异面直线所成的角•例3如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC，求异面直线PC与AB所成的角．•【解】方法一：过C作CM∥AB，则∠PCM(或其补角)就是异面直线PC与AB所成的角．•取CM＝AB，连结AM、PM•则AM綊BC AB⊥BC，∴AM⊥MC PA⊥平面ABC，∴MC⊥PM设PA＝AB＝BC＝a，则PM＝2a∴tan∠PCM＝PMMC＝2∴异面直线PC与AB所成的角为arctan2，方法二：取PB、PA、BC的中点D、E、F，连结ED，DF，EF，则ED∥AB，DF∥PC∴∠EDF或其补角是异面直线PC与AB所成的角．设PA＝AB＝BC＝a，则ED＝a2，DF＝32a，EF＝62a，∴cos∠EDF＝ED2＋DF2－EF22ED·DF＝－33∴异面直线PC与AB所成的角为arccos33•探究3高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，其步骤为：...
