713400陕西永寿县中学安振平zpan1@sina.com131523256330910-7667327(0)第四讲向量及其应用陕西特级教师安振平高考风向标向量的概念:向量的基本要素,向量的表示,向量的长度,相等的向量,平行向量．向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的内积及各运算的坐标表示和性质．重要定理与公式：平面向量基本定理，两个向量平行的充要条件，两个向量垂直的充要条件，线段的定比分点公式（特别是中点公式），平移公式，正弦定理，余弦定理．典型题选讲例1已知向量m=（1,1），向量n与向量m夹角为，且m·n=－1.（1）求向量n；（2）若向量n与向量q=（1，0）的夹角为，向量p=，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列.求|n+p|的取值范围；讲解用向量的有关公式进行逐步翻译．（1）设①与夹角为，有·=||·||·，所以②由①②解得（2）由垂直知，由2B=A+C知B=，A+C=若点评在第（２）小题中，应用的三角公式较多，这似乎应当寻找联系，产生一定的条件反射．如：遇到高次想将次，即公式．1aABCQP713400陕西永寿县中学安振平zpan1@sina.com131523256330910-7667327(0)例2设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，3sin2x)，x∈R.（1）若f(x)=1-3且x∈[-3，3]，求x；（2）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|<2)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值．讲解（1）同上题，遇到高次想将次，依题设可得f(x)=2cos2x+3sin2x=1+2sin(2x+6).由1+2sin(2x+6)=1-3，得sin(2x+6)=-23. -3≤x≤3，∴-2≤2x+6≤65，∴2x+6=-3，即x=-4.（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.由（Ⅰ）得f(x)=2sin2(x+12)+1. |m|<2，∴m=-12，n=1.点评本题是2004年高考试题福建卷数学试题（理科）第17题.主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力．例3如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值．讲解解题思维的入手点是在“Rt△ABC中”，据此进行翻译和转化．，．．2713400陕西永寿县中学安振平zpan1@sina.com131523256330910-7667327(0)点评本题是2004年湖北高考卷第19题，向量作为一种高中数学的新的知识，是高考的必考内容，它可能与三角函数、解析几何等知识综合，有时出现在选择题、填空题中，更多的时候有一道解答题．例4椭圆的两焦点分别为、，直线是椭圆的一条准线．（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且，求的最大值和最小值．讲解（１）解答本题的入手点是写出椭圆的标准方程．依据题意，设椭圆的方程为，则由，椭圆方程为．（２）因为在椭圆上，故由平面几何知识得，即，所以．令，设且，则，3713400陕西永寿县中学安振平zpan1@sina.com131523256330910-7667327(0)所以函数在上是单调递减的，从而当时，原式取得最大值，当时原式取得最小值．点评本题的综合性极强，涉及到解析几何、向量、函数、不等式等知识，当中，应用平面几何知识，构造函数，进而判断函数的单调性，这是问题的解答水到渠成．例5在△ABC中，sinA、sinB、sinC构成公差为正的等差数列，且其周长为12．以为x轴，AC的中垂线为y轴建立直角坐标系xoy．（1）证明存在两个定点E、F，使得|BE|+|BF|为定长；并求出点E、F的坐标及点B的轨迹Γ；（2）设P为轨迹Γ上的任一点，点M、N分别在射线PA、PC上，动点Q满足，经过点A且以为方向向量的直线与动点Q的轨迹交于点R，试问：是否存在一个定点D，使得为定值？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由？讲解（1）由sinA、sinB、sinC构成公差为正的等差数列，得a+c=2b，且a>b>c．因a+b+c=12，故a+c=8，即|BC|+|BA|=8为定值．注意到8>|AC|=4，且|BC|>|BA|，故B的轨迹是以A、C为焦点，8为长轴长，在y轴左侧且除去顶点的椭圆的一部分．并且存在定点E、F，它们分别为A、C，从而它们的坐标分别为（-2，0），（2，0）．（2）如图所示，不妨取，则以PMN为顶点可作出一个菱形PMTN，于是，，且，从而PQ为∠APC的外角∠SPA的平分线．过A且以为方向向量的直线AS⊥P...
