解析几何初步与圆锥曲线综合问题特级教师丁益祥一、核心考点分析二、典型问题精讲三、本讲总结提升一、核心考点分析解析几何包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程三部分内容，它是高中数学的重要内容之一，也是历年高考必考的重点内容之一．《考试大纲》对这部分内容的要求主要是：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；掌握确定圆的几何要素；掌握圆的标准方程与一般方程，能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单问题；掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；理解数形结合的思想；能进行极坐标与直角坐标的互化，并能给出直线和圆的极坐标方程；能进行参数方程与普通方程的互化，并能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．从历年的高考数学试题看，围绕解析几何的考题，既有选择题和填空题，又有解题．一般说来，选择题和填空题主要考查直线和圆的方程的基本问题以及圆锥曲线的基本性质，而解答题主要考查直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线与其他知识的交汇问题，通常具有较大的难度．二、典型问题精讲考点1：圆锥曲线的定义及其参数之间的关系例1已知双曲线22221xyab的离心率为2，焦点与椭圆221259xy的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为．解：对于椭圆，224cab，所以，椭圆的焦点坐标为(4,0)．双曲线焦点与椭圆焦点相同，故双曲线的焦点坐标为(4,0)．又双曲线离心率为2，故2ca．注意到4c，所以2a．从而221223bca，因此渐近线方程为3byxxa．小结与说明本题主要考查了椭圆和双曲线的标准方程和焦点坐标、双曲线的离心率和渐近线方程．理解椭圆和双曲线相关参数的意义及其相互之间的关系，对于解决问题起着重要的作用．一般地，对于椭圆，参数,,abc满足222abc，而对于双曲线，参数,,abc满足222cab．例2已知抛物线22(0)ypxp，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于,AB两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）．（A）1x（B）1x（C）2x（D）2x解：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则2112ypx，2222ypx．两式相减，得22121222yypxpx，即121212()()2()yyyypxx，注意到直线AB的斜率12121yykxx，线段AB中点的纵坐标为2，故12121212222yyyyyypxx．抛物线方程为24yx，准线为1x，选B．小结与说明此题考查了直线和抛物线的位置关系、考查了抛物线的标准方程和准线方程、直线的斜率及中点公式．本题求解中我们着眼于代数运算，给出直线AB的斜率以及线段AB中点的纵坐标这两个条件，为顺利求出参数p奠定了基础．例3点P是以12,FF为焦点的椭圆上的一点，过焦点2F作12FPF的外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（）．（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线解：如图，易知2PQPF，M是2FQ的中点，∴OM是1FQ的中位线，∴，112MOFQ11()2FPPQ121()2FPFP由椭圆的定义知，12FPFP=定值，∴OM定值（椭圆的长半轴长a），∴选A．小结与说明本题是以椭圆为背景的动点的轨迹问题，一般采用相关点法来求解，但此法对本题的求解显然困难重重．为此，我们巧用了椭圆的定义，快速地获得了OM是定值的判定，为正确判断点M的轨迹是圆奠定了基础．事实上，圆锥曲线的定义是圆锥曲线的基础，它揭示了圆锥曲线的本质，面对解析几何中的圆锥曲线问题，如果常规方法显得比较困难时，不妨回到定义去．考点2：直线与圆的位置关系例4已知圆的方程为22680xyxy．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）．(A)106(B)206(C)306(D)406解：圆的...
