高中数学 3.4 反证法同步练习 北师大版选修1-2VIP免费

§4反证法1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()．①结论的假设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④解析考查反证法的基本思想．所以选C.答案C2．下列命题不适合用反证法证明的是()．A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1解析A中命题条件较少，不足以正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含多个结论，而反设只有一个结论．答案C3“”．用反证法证明命题三角形的内角中至多有一个钝角时，反设正确的是()．A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角“”“解析至多有一个即要么一个都没有，要么有一个，故反设为至”少有两个．答案B4“”．用反证法证明一个三角形不能有两个直角有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．答案③①②5“．用反证法证明：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定为________．答案a≤b6．证明：1、、2不能为同一等差数列的三项．证明假设1、、2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，则1＝－md,2＝＋nd，其中m、n为某两个正整数，由上面两式消去d，得n＋2m＝(n＋m).因为n＋2m为有理数，而(n＋m)为无理数，所以n＋2m≠(n＋m)·，因此假设不成立，所以1、、2不能为同一等差数列的三项．7．下列命题错误的是()．A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a＋b是奇数，则a、b中至少有一个为奇数解析a＋b为奇数⇔a、b中有一个是奇数，另一个是偶数．答案D8．设a、b、c都是正数，则三个数a＋、b＋、c＋()．A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析a＋＋b＋＋c≥＋＝＋＋6，故三个数中至少有一个不小于2.答案D9．下列命题：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明；⑤反证法是直接证明．其中正确的命题有________．解析显然，分析法是直接证明，而不是间接证明，反证法是间接证明，而不是直接证明．答案①②③10．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．解析假设共面，则直线AB与CD也共面，与已知矛盾．答案异面11．求证：在一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.证明假设△ABC的三个内角都小于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则三式相加得∠A＋∠B＋∠C＜180°，这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A，∠B，∠C都小于60°的假设不能成立，从而在一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.12．(创新拓展)求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.证明假设bc＝0，则有三种情况出现：①若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0，x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的根，这与已知方程有两个不相等的实根矛盾．②若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0，但当c≠0时x2＋c2≠0，与x2＋c2＝0矛盾．③若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程的根为x1＝0，x2＝－b，这“”与已知条件方程有两个非零实根矛盾．综上所述，bc≠0.