线性方程组1、消元法求解线性方程组例1．解线性方程组解：将方程组的增广矩阵通过矩阵的初等变换，化为行简化的阶梯形矩阵由最后的矩阵写出原方程组的同解方程组（本题即为方程组的唯一解），，，注释：消元法是解线性方程组最有效最基本的方法，通过该例题我们得到：求解线性方程组的一般步骤是：第一步，首先将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵；第二步，根据阶梯形矩阵判断是否有解（是否等于）；第三步，有解时，继续对阶梯形矩阵利用初等行变换化为行简化阶梯形矩阵；第四步，由行简化阶梯形矩阵写出方程组的解。2、求齐次线性方程组的基础解系的简便方法例2．求下列齐次线性方程组的基础解系（1）（2）解（1）将其系数矩阵用初等行变换化为行简化矩阵最后一矩阵的第1、3、4列构成了3阶单位矩阵，所以，从而该方程组的基础解系含个解向量。解法1将上面最后一个矩阵的2、5列反号，依次得基础解系的两个解向量的第1、3、4三个坐标，而的另两个坐标依次取2阶单位矩阵的两列，即基础解系为，解法2由上面最后一个矩阵得（1）的同解方程组（为自由未知量）令，得即（为任意常数）所以基础解系为，（2）将其系数矩阵用初等行变换化为行简化矩阵由此得，而最后一矩阵的前2列2行构成一2阶单位矩阵，所以基础解系含两个解向量，且的前两个分量分别为上面最后一矩阵3、4列前两个坐标的相反数，而它们的后两个分量分别为2阶单位矩阵的两列，即，另从最后一个矩阵得与原方程组同解的方程组（为自由未知量）令，得原方程组的通解为即（为任意常数）所以基础解系为，注1：方法1直接从行简化矩阵找基础解系，若要求通解，只需作基础解系的任意线性组合即得。方法2是先得到通解，再得到基础解系，所以基础解系与通解同时给出。注2：前面我们给出的是基础解系的简便求法，而基础解系不是唯一的，只要个解向量线性无关即可为基础解系。所以有时为了避免解向量的分量为分数我们可灵活选取，比如上面例2在（2）题法2中可令，则得基础解系为，．例3．设为矩阵，且，则有非零解。证法一因为矩阵，知未知量的个数为，，故，于是由非零解。证法二本题是含个方程，个未知量的齐次线性方程组，因，即方程的个数小于未知量的个数，故有非零解。证法三由于，说明的个列向量线性相关，故必有非零解。注释：当齐次线性方程组方程的个数小于未知量的个数时，必有无穷多解。例4．设，证明若有个互不相同的根，则为零多项式。证：设的个互不相同的根分别为，则是关于个未知量，个方程的齐次线性方程组，其系数矩阵的行列式为阶范德蒙行列式，由于互不相同，知，从而上齐次线性方程组只有零解，即，所以为零多项式。3、齐次线性方程组例5．设齐次线性方程组的系数矩阵为，若3阶非零矩阵满足，试求及的值。解：由知矩阵的各个列向量均为齐次线性方程组的解向量，而，所以至少有一个列向量为非零向量，从而有非零解，故，又所以.由均为3阶方阵，且，得，所以的各列均为的解，而为非零矩阵，所以有非零解，从而知.注释：我们可由判断，事实上若，则可逆。于是由得，显然不对，故可知.例6．求作一齐次线性方程组，使它的基础解系为，．分析：由于已知的是齐次线性方程组的基础解系，即已知，，要求系数矩阵，我们可通过对前式转置构造一个以为系数矩阵的齐次线性方程组，且为其解向量来求。解：设所求的齐次线性方程组为，由题设，，从而所以有，即于是所求齐次线性方程组的系数矩阵的转置矩阵的各个列向量，即的各个行向量为的解。由所以的基础解系为，由于为四元线性方程组且基础解系含有两个解向量，所以，从而可取使齐次线性方程组满足题设要求。注释：由上面两题我们看出当有结论成立时，应立即想到的每个列向量均为齐次线性方程组的解。这是证明题中常用的方法。例7．设是齐次线性方程组的基础解系，向量组满足（），如果矩阵的行列式，则也为该齐次线性方程组的基础解系。证：由（）知（）为该方程的个解向量，且而，所以可逆，于是所以向量组也是的线性组合，从而向量组与等价，又两个向量组均含有个向量，且为基础解系，故也为该齐次线性方程组的一个基础解系。注释：证明个未知量的齐次线性方程组的一...
