9.8抛物线一、填空题1．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点也是双曲线x2－y2＝8的一个焦点，则p＝________.解析抛物线y2＝2px的焦点为，双曲线x2－y2＝8的右焦点为(4,0)，故＝4，即p＝8.答案82．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a＝________.解析抛物线的标准方程为x2＝y，由条件得2＝－，a＝－.答案－3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p＝________.解析抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2.答案24．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题是________(填序号)．解析因为PF＝MF＝NF，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°，故①正确，②错误：令直线PM的方程为y＝x＋，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误．答案①③5．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝________.解析由于抛物线y＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)．则FA＝(xA－1，yA)，FB＝(xB－1，yB)，FC＝(xC－1，yC)，由FA＋FB＋FC＝0，所以xA＋xB＋xC＝3，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝3＋3＝6.答案66．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF＝2，则BF＝________.解析 y2＝4x，∴p＝2，F(1,0)，又 AF＝2，∴xA＋＝2，∴xA＋1＝2，∴xA＝1.即AB⊥x轴，F为AB的中点．∴BF＝AF＝2.答案27．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________．解析由抛物线方程y2＝4x易得抛物线的准线l的方程为x＝－1，又由PM＝5可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为±4，故S△MPF＝×5×4＝10.答案108.过抛物线的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p=.解析由题意可知过焦点的直线方程为与抛物线方程联立得由|AB|.答案29．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为________．解析设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)． 当x＝时，|y|＝p，∴p＝＝＝6.又P到AB的距离始终为p，∴S△ABP＝×12×6＝36.答案3610．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．解析如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，联立方程，得即3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，求得b＝－，所以切线方程为4x＋3y－＝0，则切点到直线4x＋3y－8＝0的距离也就是所求的最小值，此最小值也即为两直线间的距离，为＝.答案11．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且AK＝AF，则△AFK的面积为________．解析如图，过点A作AB⊥l于点B(l为准线)，则由抛物线的定义，得AB＝AF.因为AK＝AF，所以AK＝AB，所以∠AKF＝∠AKB＝45°，设A(2t2,4t)，由K(－2,0)，得＝1，得t＝1，所以S△AKF＝×4×4＝8.答案812．点P在抛物线x2＝4y的图象上，F为其焦点，点A(－1,3)，若使PF＋PA最小，则相应P的坐标为________．解析由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点即为所求点P的坐标，此时PF＋PA最小．答案13．探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60cm，灯深40cm，则光源放置位置为灯轴上距顶点________处．解析将抛物线放到直角坐标系中，使顶点与原点重合，焦点在x轴正半轴上，则由题意可知点(40,30)在抛物线上，代入y2＝2px中，解得p＝，而光源放在焦点位置，距离顶点p＝＝5.625cm处．答案5.625cm二、解答题14．抛物线的顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，而焦点是该双曲线的左顶点，求此抛物线的方程．解析双...
