第3讲圆的方程分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．解析AB的中点坐标为(0,0)，AB＝＝2，∴圆的方程为x2＋y2＝2.答案x2＋y2＝22．(·广州检测二)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案x2＋(y－2)2＝13．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为__________________．解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.答案x2＋(y＋2)2＝54．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得，因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案(x－2)2＋(y＋1)2＝15．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则MN的最小值是________．解析圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝＝，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝.答案6．经过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)的圆的标准方程为________．解析法一设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得D＝－2，E＝－4，F＝－95，∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0，即圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝100.法二由A(1,12)，B(7,10)，得A、B的中点坐标为(4,11)，kAB＝－，则AB的中垂线方程为：3x－y－1＝0.同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0联立，得即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10.∴所求圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－2)2＝100.答案(x－1)2＋(y－2)2＝100二、解答题(每小题15分，共30分)7．求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程．解法一设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为，∴r2＝2＋()2，即2r2＝(a－b)2＋14，①由于所求的圆与x轴相切，∴r2＝b2.②又因为所求圆心在直线3x－y＝0上，∴3a－b＝0.③联立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.故所求的圆的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.法二设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为，半径为.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，由圆与x轴相切，得Δ＝0，即D2＝4F.④又圆心到直线x－y＝0的距离为.由已知，得2＋()2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)⑤又圆心在直线3x－y＝0上，∴3D－E＝0.⑥联立④⑤⑥，解得D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F＝1.故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.8．(·连云港模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值．解(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.分层训练B级创新能力提升1．若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________．解析设圆心为(a,0)(a＜0)．因为直线x＋2y＝0与圆相切，所以＝，即＝，解得a＝－5.所以圆C的方程为(x＋5)2＋y2＝5.答案(x＋5)2＋y2＝52．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是________．解析因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为5，所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，4＜r＜6.答案(4,6)3．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称．直线4x－3y－2＝0与圆C相交于...
