第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(·泰州学情调查)“命题∃x∈R，x2＋1＜0”的否定是________．解析存在性命题的否定是全称命题．答案∀x∈R，x2＋1≥02．(·盐城调研)命题：∀x∈R，sinx＜2的否定是________．解析全称命题的否定是存在性命题．答案∃x∈R，sinx≥23．(·南通二模)已知命题p：∃x∈R，使ax2＋2x＋1<0.当a∈A时，綈p为真命题，则集合A＝________．解析綈p：∀x∈R，使ax2＋2x＋1≥0.若此命题为真命题，则即a≥1，从而所求集合A＝{a|a≥1}．答案{a|a≥1}4．(·石家庄质检)已知命题p1：∃x∈R，x2＋x＋1<0；p2：∀x∈[1，2]，x2－1≥0.则下列命题：①綈p1∧綈p2；②p1∨綈p2；③綈p1∧p2；④p1∧p2，其中是真命题的序号是________．解析因为p1是假命题，p2是真命题，所以綈p1是真命题，从而綈p1∧p2是真命题．答案③5．(·“”安徽江南十校联考)命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(∞－，0)与(0∞，＋)上都是减函数，则f(x)在(∞－，0)∪(0∞，＋)上是减函“数，则下列说法：①p或q”“是真命题；②p或q”是假命题；③綈p“为假命题；④綈p∧q”是假命题，其中正确的说法序号是________．解析因为p，q均为假命题，所以②④说法正确．答案②④6．(·湖南卷改编)下列命题：①∃x∈R，lgx＝0；②∃x∈R，tanx＝1；③∀x∈R，x2＞0；④∀x∈R，2x＞0，其中真命题的序号是________．解析取x＝1，得lgx＝lg1＝0，①正确；取x＝，得tanx＝tan＝1，②正确；③取x＝0，则x2＝0，③不正确；④由指数函数值域知④正确．答案①②④二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1(1)∃x∈R，使f(x)＜b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)∀x∈R，使f(x)≥b·g(x)，求实数b的取值范围．解(1)由∃x∈R，f(x)＜b·g(x)，得∃x∈R，x2－bx＋b＜0，所以Δ＝(－b)2－4b＞0，解得b＜0或b＞4，即实数b的取值范围是(∞－，0)∪(4∞，＋)．(2)由∀x∈R，f(x)≥b·g(x)，得∀x∈R，x2－bx＋b≥0，所以Δ＝(－b)2－4b≤0，解得0≤b≤4.即实数b的取值范围是[0，4]．8．(·常州模拟)已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．解因为∀x∈[1，2]，x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，所以a≤1.即p：a≤1，所以綈p：a＞1.又∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0.所以Δ＝(a－1)2－4＞0，所以a＞3或a＜－1，即q：a＞3或a＜－1，所以綈q：－1≤a≤3.又p或q为真，p且q为假，所以p真q假或p假q真．当p真q假时，{a|a≤1}∩{a|－1≤a≤3}＝{a|－1≤a≤1}．当p假q真时，{a|a＞1}∩{a|a＜－1或a＞3}＝{a|a＞3}．综上所述a的取值范围是{a|－1≤a≤1或a＞3}．分层训练B级创新能力提升1．(·南京学情分析)命题“∀x＞0，都有sinx≥－1”的否定是________．解析原命题是全称命题，它的否定是存在性命题．答案∃x≤0，sinx＜－12．给出下列三个命题：①∀x∈R，x2>0；②∃x∈R，使得x2≤x成立；③对于集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M，且x∈N.其中真命题的个数是________．解析取x＝0，得x2＝0，①不正确；取x＝，得②正确；③正确，故真命题的个数为2.答案23．(·天津卷改编)下列四个命题：①∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数；②∃x∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数；③∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数；④∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数，其中是真命题的序号是________．解析当m＝0时，函数f(x)＝x2是偶函数．答案①4．(·辽宁卷改编)已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题：①∃x∈R，f(x)≤f(x0)；②∃x∈R，f(x)≥f(x0)；③∀x∈R，f(x)≤f(x0)；④∀x∈R，f(x)≥f(x0)，其中正确的序号是________．解析由x0满足方程2ax＋b＝0，得x0＝－.因为a>0，所以f(x0)＝f是二次函数f(x)的最小值，从而可判定④真命题，③是假命题，由存在x＝x0时，f(x)＝f(x0)，可判断①②是真命题．答案①②④5．(·日照调研)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2...
