考研数学高数部分模拟题时间180分钟满分150分姓名分数一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）设函数()fx在区间[-1,1]上连续，则0x是函数0()()xftdtgxx的（）A跳跃间断点.B可去间断点.C无穷间断点.D震荡间断点.（2）曲线1ln(1)xyex，渐近线的条数为（）A0.B1.C2.D3.（3）设函数fx在闭区间,ab上有定义，在开区间,ab内可导，则（）A当0fafb时，存在,ab，使0f.B对任何,ab，有lim0xfxf.C当fafb时，存在,ab，使0f.D存在,ab，使fbfafba.（4）设24(,),xyfxye则（）A''(0,0)(0,0)xyff存在，存在.B''(0,0)(0,0)xyff存在，不存在.C''(0,0)(0,0)xyff不存在，存在.D''(0,0)(0,0)xyff不存在，不存在.（5）22,1,2,3,ixyiDJedxdyi其中2221,DxyxyR，2222,2DxyxyR，3,,DxyxRyR，则123,,JJJ之间的大小顺序为（）A123.JJJB231.JJJC132.JJJD321.JJJ（6）设非齐次线性微分方程)()('xQyxPy有两个不同的解)(1xy和)(2xy，C为任意常数，则该方程的通解是（）A12()()Cyxyx.B112()()()yxCyxyx.C12()()Cyxyx.D112()()()yxCyxyx.(7)f(x)为二阶可导函数．设当),(bax时，)()('xgxf，而)(xgy的图形如图所示，则)(xfy在),(ba内()(A)有3个极值点，2个拐点．(B)有3个极值点，3个拐点．(C)有2个极值点，3个拐点．(D)有2个极值点，2个拐点．（8）设y＝y(x)在[0，＋∞)可导，在x∈(0，＋∞)处的增量△y＝y(x＋△x)－y(x)满足xxyyy1)1(△△△，其中当△x→0时是与△x等价的无穷小，又y(0)＝1．则y(x)等于(A)(1＋x)[ln(1＋x)＋1]．(B)ln(1＋x)＋1．(C)xx11121．(D)1＋x.二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）（9）极限22limsin1xxxx.（10）设曲线nxye在点)1,0(处的切线与x轴的交点为)0(，ξn，则________1limnnfξ．（11）方程2610yexyx确定隐函数yyx，则0y.（12）已知方程09623kxxx有且只有一个正根，则实数k的取值范围是__________.（13）交换积分次序1002111022._____d,dd,dyyxyxfyxyxfyI(14))(xf满足0)0(f,2)0('f，则._______cos1sinddlim000xxuttufxux三、解答题（15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）设.102,πcos12＜2,322xxxxxxf试求38d2xxfI.（16）（本题满分11分）设,Fx在有一阶连续导数，且00f，并存在0f.若,00,0fxxFxxfx求Fx，并证明Fx在,连续。（17）（本题满分10分）设()fx是连续函数，（I）利用定义证明函数0()()xFxftdt可导，且()()Fxfx；（II）当()fx是以2为周期的周期函数时，证明函数200()2()()xGxftdtxftdt也是以2为周期的周期函数．（18）（本题满分11分）求二元函数22(,)2lnfxyxyyy的极值。（19）（本题满分10分）计算二重积分2ddDyxyxy，其中D是由直线,1,0yxyx所围成的平面区域.（20）（本题满分10分）设1,ab求证：函数xxxf2ln)(满足不等式.)(2122)()(02abbafbfaf（21）（本题满分10分）求微分方程562xyyye的通解.（22）（本题满分11分）设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，且f(a)＝f(b)＝1，证明：必存在ξ，η∈(a，b)使得1ef'f．（23）（本题满分11分）设D是位于曲线2(1,0)xayxaax下方、x轴上方的无界区域。(I)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);(II)当a为何值时，V(a)最小?并求此最小值.一、1.B2.D3.C4.B5.A二、1【答案】0．【详解】把方程两边分别对x求导数得6620yeyyxyx当x=0时，从原方程得y=0，所以0y0.2.a=0,b=13.04.-2/35.1212e三、1.解：2300sinsinsinsinsinsin(sin)limlim2(1cos)xxxxxxxxxx2222000coscos(sin)cos1cos(sin)sin12lim2limlim3333xxxxxxxxxxx2.3.4.证令2()(1)()Fxxfx，则2()2(1)()(1)()Fxxfxxfx，由积分中值定理知，存在[3,4]c，使得4223(2)(1)()(1)()fxfxdxcfc，即(2)()FFc，由罗尔定理知，存在(2,)(2,4)c，使得()0F，即22(1)()(1)()0ff，即2()()1ff.5.证明：由212(1)11nnnnxxxx知{}nx有界，又由222122(1)0nnnnnnnxxxxxxx知{}nx单调递增故{}nx收敛，即nnxlim存在设limnnxl，12nnnxxx两边取极限得(2)lll，解之得0l或1l，又{}nx单调递增，故0l不合题意，舍去，因此lim1nnx6.7.设函数()yx在闭区间]1,1[上具有三阶连续导数，且,0)0(,1)1(,0)1(fff证明：在开区间)1,1(内至少存在一点,()3.f使解：方法一：在0()xfx处，将按泰勒公式展开，得2311()(0)(0)()(),2!3!fxffxfxxfx其中介于0与x之间，[1,1]x分别令11,xx和并结合已知条件，得11110(1)(0)(0)(),(10),26ffff22111(1)(0)(0)(),(11),26ffff两式相减，得12()()6ff由()fx的连续性，知()fx在闭区间在[12,]上有最大值和最小值，设它们分别为M、m．则有121[()()]2mffM再由连续函数的介值定理知至少存在一点12[,](1,1)121()[()()]32fff
