第2讲排列与组合基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为________．解析从8个点中任选3个点有选法C种，因为有4点共圆所以减去C种再加1种，即有圆C－C＋1＝53个．答案532．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有________个．解析分类讨论：若十位数为6时，有A＝20个；若十位数为5时，有A＝12个；若十位数为4时，有A＝6个；若十位数为3时，有A＝2个，因此一共有40个．答案403．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为________．解析四名学生中有两名学生恰好分在一个班，共有CA种分法，而甲、乙被分在同一个班的有A种，所以不同的分法种数是CA－A＝30.答案304．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．解析若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法．由分类加法计数原理知共A＋CA＝60(种)方法．答案605．一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为________．解析两名女生站一起有A种站法，她们与两个男生站一起共有AA种站法，老师站在他们的中间则共有AAC＝24(种)站法．答案246．(·大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种(用数字作答)．解析依题意，所有的决赛结果有CCC＝6××1＝60(种)．答案607．(·杭州调研)四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．解析分两步：先将四名优等生分成2,1,1三组，共有C种；而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有A种．依分步乘法计数原理，共有N＝CA＝36(种)．答案368．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的三位数共有________个．解析在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数各位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，∴符合条件的三位数共有C·C·A＝36(个)．答案36二、解答题9．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数有多少个？解先在后三位中选两个位置填写数字“0”有C种方法，再排另两张卡片有A种方法．又数字“9”可作“6”用，∴四张卡片组成不同的四位数有2CA＝12个．10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中．(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法？(2)恰有一个空盒的放法共有多少种？解(1)每个盒子放一球，共有A＝24种不同的放法；(2)法一先选后排，分三步完成．第一步：四个盒子中选一只为空盒，有4种选法；第二步：选两球为一个元素，有C种选法；第三步：三个元素放入三个盒中，有A种放法．故共有4×CA＝144种放法．法二先分组后排列，看作分配问题．第一步：在四个盒子中选三个，有C种选法；第二步：将四个球分成2,1,1三组，有C(即)种分法；第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有A种分法．故共有CCA＝144种分法．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有________种．解析程序A有A＝2种结果，将程序B和C看作元素集团与除A外的元素排列有AA＝48种，∴由分步加法计数原理，实验编排共有2×48＝96种方法．答案962．(·济南调研)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为________．解析(1)若从集合B中取元素2时，再从C中任取一个元素，则确定的不同点的个数为CA.(2)当从集合B中取元素1，且从C中取元...
