第2讲矩阵与变换1．(·江苏卷)求矩阵A＝的逆矩阵．解设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝
故解得从而A的逆矩阵为A－1＝
2．(·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．解设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′0，y′0)则有＝，即∴又 点P在椭圆上，故4x＋y＝1，从而x＋y＝1
∴曲线F的方程是x2＋y2＝1
3．已知矩阵M＝，N＝，且MN＝
(1)求实数a、b、c、d的值；(2)求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．解(1)由题设得：解得(2) 矩阵M对应的线性变换将直线变成直线(或点)，∴可取直线y＝3x上的两点(0,0)，(1,3)，由＝，＝，得点(0,0)，(1,3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(0,0)，(－2,2)．从而，直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y＝－x
4．(·苏北四市调研一)若点A(2,2)在矩阵M＝对应变换的作用下得到的点为B(－2,2)，求矩阵M的逆矩阵．解由题意，知M＝，即＝，∴解得∴M＝
由M－1M＝，解得M－1＝
5．(·南通调研)已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝，求矩阵A
解由特征值、特征向量定义可知，Aa1＝λ1a1，即＝－1×，得同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1
因此矩阵A＝
6．(·扬州调研)已知矩阵M＝，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解由矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M的特征值．设矩阵M的特征向量为，当λ1＝2时，由M＝2，可得可令x＝1，得y＝1，∴α1＝是M的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M＝4，可得取
