第4讲基本不等式A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·宁波模拟)若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．A.B．1C．2D．4解析 a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤.当且仅当a＝1，b＝时等号成立．答案A2．函数y＝(x>1)的最小值是()．A．2＋2B．2－2C．2D．2解析 x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时取等号．答案A3．(·陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a＝0，∴v>a.答案A4．(·杭州模拟)设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是()．A．2B．4C．2D．5解析2a2＋＋－10ac＋25c2＝2a2＋－10ac＋25c2＝2a2＋－10ac＋25c2≥2a2＋－10ac＋25c2(b＝a－b“”时取＝)＝2a2＋－10ac＋25c2＝＋(a－5c)2≥4，故选B.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·浙江)设x，y为实数．若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．解析依题意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋×2x×y≤1＋·2，得(2x＋y)2≤1，即|2x＋y|≤.当且仅当2x＝y＝时，2x＋y取最大值.答案6．(·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0≤，故18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案58三、解答题(共25分)7．(12分)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解 x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0，(1)xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，∴xy≥64.故xy的最小值为64.(2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)＝10≥＋＋10＋8＝18.故x＋y的最小值为18.8．(13分)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求＋的最小值．解(1) x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. 2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2) x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．由解得∴＋的最小值为.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()．A．(∞－，－2]∪[4∞，＋)B．(∞－，－4]∪[2∞，＋)C．(－2,4)D．(－4,2)解析 x>0，y>0且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－40)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为()．A．16B．8C．8D．4解析如图，作出y＝|log2x|的图象，由图可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1∞，＋)内，而且xC－xA与xB－xD同号，所以＝，根据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－，xB＝2m，xD＝2，所以＝＝＝＝2＋m，由于＋m≥＝＋－4－＝，当且仅当＝，即2m＋1＝4，即m＝时等号成立，故的最小值为2＝8.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)3．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．解析由a，b∈R＋，由基本不等式得a＋b≥2，则ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0⇔(－3)(＋1)≥0⇒≥3，∴ab≥9.答案[9∞，＋)4．已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝的最小值为________。解析z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，则0
