高考数学 高频考点归类分析 关于空间距离和空间角的问题（真题为例）VIP免费

关于空间距离和空间角的问题典型例题：例1.（年全国大纲卷理5分）已知正四棱柱中，为的中点，则直线与平面的距离为【】A．2B．C．D．1【答案】D。【考点】正四棱柱的性质，点到面的距离，线面平行的距离，勾股定理。【解析】连接，和交于点，则在中， 是正方形，∴，又 为的中点，∴。∴则点到平面的距离等于到平面的距离。过点作于点，则即为所求。 是正方形，，∴根据勾股定理，得。 为的中点，，∴。∴。在中，利用等面积法得，即。∴。故选D。例2.（年四川省理5分）如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为【】αCAODBPA、B、C、D、【答案】A。【考点】球面距离及相关计算，向量和反三角函数的运用。【解析】要求、两点间的球面距离，由于，故只要求得即可。从而可求出即可求（比较繁）或用向量求解：如图，以O为原点，分别以在平面上的射影、所在直线为轴。过点作（即面）的垂线，分别过点作轴的垂线。 ，∴。 面与平面的角为，即，∴。∴。∴。∴。∴。∴。故选A。例3.（年陕西省理5分）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为【】A.B.C.D.【答案】A。【考点】异面直线间的角的求法，特殊元素法的应用。【解析】设，则，∴。又 直线与直线夹角为锐角，∴余弦值为。选A。例4.（年全国大纲卷理5分）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为▲。【答案】。【考点】斜棱柱中异面直线的角的求解。【解析】用空间向量进行求解即可：设该三棱柱的边长为1，依题意有，则，，而。∴。例5.（年全国大纲卷文5分）一直正方体中，、分别为、的中点，那么一面直线与所成角的余弦值为▲.【答案】。【考点】异面直线的角的求解。【解析】用空间向量进行求解即可：设该直正方体的边长为1，依题意有，则，而∴。例6.（年四川省理4分）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是▲。NMB1A1C1D1BDCA【答案】90º。【考点】异面直线夹角问题。【解析】如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系.设正方体边长为2，则（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A1（2,0,2）∴。∴cos<=0。∴，即异面直线与所成角为90º。例7.（年辽宁省理5分）已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为▲。【答案】。【考点】组合体的线线，线面，面面位置关系，转化思想的应用。【解析】 在正三棱锥ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，∴可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径EP，球心为正方体对角线的中点O，且EP⊥平面ABC，EP与平面ABC上的高相交于点F。∴球O到截面ABC的距离OF为球的半径OP减去正三棱锥ABC在面ABC上的高FP。 球的半径为，设正方体的棱长为，则由勾股定理得。解得正方体的棱长=2，每个面的对角线长。∴截面ABC的高为，。∴在Rt△BFP中，由勾股定理得，正三棱锥ABC在面ABC上的高。∴所以球心到截面ABC的距离为。例8.（年全国大纲卷理12分）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，。（1）证明：平面；（2）设二面角为，求与平面所成角的大小。【答案】解：设,以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系。则由底面得。设。（1）证明：由得，。∴，。∴，。又 ，∴平面。（2）设平面的法向量为，又，由0,0nAPnAB��得2(1,,0)na。设平面PBC的法向量为(,,)mxyz�。又(2,,0),(22,0,2)BCaCP�，由0,0mBCmCP�，得2(1,,2)ma�。 二面角为，∴0mn�，解得2a。∴(2,2,2)PD�，平面PBC的法向量为(1,1,2)m�。∴与平面所成角的正弦值为||12||||PDmPDm��。∴与平面所成角为6。【考点】四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。【解析】从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。例9.（年全国课标卷理12分）...