第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能解析由<1，得>1，∴点P在圆外．答案B2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为()A．x＋y－2＝0B．x＋y－4＝0C．x－y＋4＝0D．x－y＋2＝0解析易知圆心C坐标为(2，0)，则kCP＝＝－，所以所求切线的斜率为.故切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.答案D3．(·甘肃诊断考试)已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，则两圆的位置关系是()A．内含B．内切C．相交D．外切解析由O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4得圆心坐标为(a，b)，半径为2；由O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1得圆心坐标为(a＋1，b＋2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|＝＝，因为|2－1|＝1＜＜2＋1＝3，所以两圆相交，故选C.答案C4．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为()A．k＝，b＝－4B．k＝－，b＝4C．k＝，b＝4D．k＝－，b＝－4解析因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝，b＝－4.答案A5．(·江西卷)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A.πB.πC．(6－2)πD.π解析由题意得以AB为直径的圆C过原点O，圆心C为AB的中点，设D为切点，要使圆C的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC＋CD最小，其最小值为OE(过原点O作直线2x＋y－4＝0的垂线，垂足为E)的长度(如图)．由点到直线的距离公式得|OE|＝.所以圆C面积的最小值为π＝π.故选A.答案A二、填空题6．(·青岛质量检测)直线y＝2x＋1被圆x2＋y2＝1截得的弦长为________．解析圆x2＋y2＝1的圆心O(0，0)，半径r＝1.圆心O到直线y＝2x＋1的距离为d＝＝，故弦长为2＝2＝.答案7．(·湖北卷)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝______．解析由题意知，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即＝，则a2＝1.同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2.答案28．(·重庆卷)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．解析依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于×2＝，于是有＝，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±.答案4±三、解答题9．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．法一(1)证明由消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝|x1－x2|＝2＝2，令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2.法二(1)证明圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝，圆C的半径R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中，Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立，所以R2－d2>0，即d
