第1讲坐标系基础巩固题组(建议用时：50分钟)一、填空题1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是________(填序号)．①；②；③(1，0)；④(1，π)解析圆的方程可化为ρ2＝－2ρsinθ，由得x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心为(0，－1)，化为极坐标为.答案②2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是______(填序号)．①两个圆；②两条直线；③一个圆和一条射线；④一条直线和一条射线．解析由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox反向的射线．答案③3．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为________．解析点化为直角坐标为(1，)，方程ρ＝2cosθ化为普通方程为x2＋y2－2x＝0，故圆心为(1，0)，则点(1，)到圆心(1，0)的距离为.答案4．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为________．解析曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组得则交点为(0，1)，对应的极坐标为.答案5．(·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sinθ是圆的极坐标方程，则点A到圆心C的距离是________．解析将圆的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0，2)．又易知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为＝2.答案26．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ－2sinθ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．解析由ρ＝6cosθ－2sinθ⇒ρ2＝6ρcosθ－2ρsinθ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2－6x＋2y＝0，将其化为标准形式为(x－3)2＋(y＋)2＝11，故圆心的坐标为(3，－)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x＝3，将其化为极坐标方程为ρcosθ＝3.答案ρcosθ＝37．(·华南师大模拟)在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为________．解析依题意知，点M的直角坐标是(2，2)，曲线的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为＝2.答案28．(·天津卷)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．解析∵ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ∴圆的方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，圆心C(0，2)．直线方程ρsinθ＝a，化为直角坐标系方程为y＝a，如图由几何知识得BC＝2CD，∴2＝2(a－2)，解之得a＝3.答案39．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcosθ＋ρsinθ＝1围成图形的面积是________．解析θ＝0，θ＝，ρcosθ＋ρsinθ＝1三直线对应的直角坐标方程分别为：y＝0，y＝x，x＋y＝1，作出图形得围成图形为如图△OAB，S＝.答案二、解答题10．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cosθ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cosθ，它表示圆心在点，半径为的圆．11．在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．解(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.解得ρ＝2，θ＝±，故圆C1与圆C2交点的坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为－≤t≤.法二将x＝1代入得ρcosθ＝1，从而ρ＝.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为－≤θ≤.12．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．M是C1上的动点，P点满足OP＝2OM，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.解(1)设P(x，y)，则由条件知M.由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(α为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.所以AB＝|ρ2－ρ1|＝2.
