第3讲抛物线分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a＝________.解析抛物线的标准方程为x2＝y，由条件得2＝－，a＝－.答案－2．(·惠州调研)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p＝________.解析因为椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4.答案43．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p＝________.解析抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2.答案24．(·广州调研)从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________．解析由抛物线方程y2＝4x易得抛物线的准线l的方程为x＝－1，又由PM＝5可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为±4，故S△MPF＝×5×4＝10.答案105．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF＝2，则BF＝________.解析 y2＝4x，∴p＝2，F(1,0)，又 AF＝2，∴xA＋＝2，∴xA＋1＝2，∴xA＝1.即AB⊥x轴，F为AB的中点．∴BF＝AF＝2.答案26．(·福州质检)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝________.解析由于抛物线y＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)．则FA＝(xA－1，yA)，FB＝(xB－1，yB)，FC＝(xC－1，yC)，由FA＋FB＋FC＝0，所以xA＋xB＋xC＝3，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝3＋3＝6.答案6二、解答题(每小题15分，共30分)7．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程．解由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以p＝2c，所以抛物线方程为y2＝4cx.因为抛物线过点，所以6＝4c·，所以c＝1.故抛物线方程为y2＝4x.又双曲线－＝1过点，所以－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，所以代入得－＝1，所以a2＝或a2＝9(舍)，所以b2＝，故双曲线方程为4x2－＝1.8．(·湖北)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有FA·FB<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足－x＝1(x>0)，化简得y2＝4x(x>0)．(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m)>0，于是①又FA＝(x1－1，y1)，FB＝(x2－1，y2)，FA·FB<0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0.②又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1<0⇔＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0，③由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2，④对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，即3－20)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．解析作AM，BN垂直于准线，准线与x轴交点为E，设|BF|＝t，则|BC|＝2t.则可得＝，即＝，解得t＝1.又＝，即＝，∴P＝.∴抛物线方程为y2＝3x.答案y2＝3x3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有...
